Continuità di una ritrazione della deformazione insolita

Question

Supponiamo che ci venga data una catena numerabile di spazi topologici $X_0 \subset X_1 \subset X_2 \subset \cdots$ e lascia $X = \bigcup_n X_n$; e supponiamo inoltre che per ciascuno$n$ abbiamo una ritrazione della deformazione $F_n : X_{n+1} \times I \to X_n$. Vorrei costruire una ritrazione della deformazione da$X$ per $X_0$ eseguendo $F_n$ nell'intervallo di tempo $[1/2^{n+1}, 1/2^n]$, tenendo ogni punto di $X_{n+1} - X_n$ fermo al di fuori di questo intervallo.

Ho qualche problema a mostrare che questa mappa è continua. Possiamo ottenere continuità$X \times (0,1]$ facilmente dal lemma incollato, ma non so come ingrandirlo a tutto $X \times I$, a causa dello strano comportamento della funzione all'inizio dell'intervallo.

EDIT: Ho appena appreso che la mappa non è continua in generale, quindi lascia $X$ essere un complesso CW e il $X_n$è la skeleta associata.

Answer 1

Non è vero in generale, quindi dovrai capire quali ipotesi extra sono necessarie per la dimostrazione e sono vere in qualunque applicazione tu abbia in mente.

Per un semplice controesempio, prendi $$X = S^1 = \{(\cos(2 \pi \theta),\sin(2 \pi \theta) \mid \theta \in (0,1]\} \subset \mathbb R^2 $$con la topologia subspaziale. E poi prendi$$X_n = \{(\cos(2 \pi \theta), \sin(2 \pi \theta) \mid \theta \in (1/n,1] \} \subset X $$anche con la topologia subspaziale. Ogni$X_n$ la deformazione si ritrae $(1,0)$, ma $S^1$ non si ritrae la deformazione $(1,0)$.

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Descriverò una situazione interessante e ampia in cui funziona in generale, vale a dire dove $X$è un complesso in CW. La topologia CW può essere utilizzata per mostrare che l'estensione continua a$X \times [0,1]$ esiste.