Corrispondenza di estensione Kummer senza radici di unità (Serge Lang)
Sto cercando di risolvere il seguente problema.
Permettere $k$ essere un campo caratteristico $0$. Assumilo per ogni estensione finita$E$ di $k$, l'indice $(E^* : E^{*n})$è finito per ogni intero positivo n. Mostralo per ogni numero intero positivo$n$, esiste solo un numero finito di estensioni abeliane di $k$ di grado $n$.
Se $k$ contiene una primitiva radice n-esima di unità, si potrebbe usare la corrispondenza uno-a-uno dell'estensione abeliana di $k$ di esponente ne sottogruppi di $k^*$ contenente le potenze n-esime degli elementi diversi da zero di $k$. Per questo caso uno dei modi per risolvere è come nella risposta di questo post: trova la biiezione tra il campo di Kummer e il sottogruppo di Galois .
Ma per $k$ non contenendo radici n-esime di unità, abbiamo qualche tipo di corrispondenza tra, diciamo, l'estensione abeliana di $k$ di esponente me estensione abeliana di $k(\zeta)$ di esponente n, da cui $\zeta$ è una primitiva radice n-esima di unità?
Ho osservato che un'estensione abeliana di $k$ dell'esponente n ha grado di estensione non superiore al grado di estensione over $k(\zeta)$ dell'estensione abeliana di $k(\zeta)$ di esponente n generato dallo stesso insieme, moltiplicato per $\varphi(n)$, da dove $\varphi(n)$ denota la funzione di Eulero.
Un'altra osservazione: supponi $k$non contiene radici n-esime di unità. Sia H un sottogruppo di$k^*$ contenente le potenze n-esime degli elementi diversi da zero di $k$, poi $H$ e $\zeta^j$ insieme genera un sottogruppo di $k(\zeta)^*$ contenente le potenze n-esime degli elementi diversi da zero di $k(\zeta)$.
Risposte
Permettere $L/k$ essere al massimo il composto di tutte le estensioni abeliane di grado $n$ al di sopra di $k(\zeta_n)$. Da$k$ ha caratteristica zero, $L/k$è separabile. Allora, da allora$k(\zeta_n)$ ha tutto $n$-th radici dell'unità, lo sai già $L/k$è finito. Se$E/k$ è un'estensione abeliana di grado $\leq n$, poi $E(\zeta_n)$ è un'estensione abeliana di $k(\zeta_n)$ di grado $\leq n$, quindi $E\subset E(\zeta_n) \subset L$. Da$L/k$è separabile, contiene al massimo un numero finito di sottoestensione. Da qui l'insieme del possibile$E$ è finito.