Determina se$f(x)=x^2$è uniformemente continua nel dominio dato.

Question

Determina se la seguente funzione è uniformemente continua nel dominio dato.

$f(x)=x^2 , \quad \text{in}\quad [0,\infty], [0,1]$

Il mio tentativo:

Per il dominio$[0,\infty]$. Permettere$(x_n)=n, (y_n)= n +\frac{1}{2n}$

Quindi$|n-n-\frac{1}{2n}|=\frac{1}{2n} < \frac{1}{n}$

Ma,$|(n)^2-(n+\frac{1}{2})^2| = 1 + \frac{1}{(2n)^2} \geq 1 = \epsilon _0$

Quindi$f(x)=x²$non è uniformemente continua nel dominio$[0,\infty]$

Per il dominio$[0,1]$. Permettere$(x_n)=\frac{1+n}{n}, (y_n)= \frac{1+2n}{2n}$

Quindi$|\frac{1+n}{n}-\frac{1+2n}{2n}| = \frac{1}{2n} < \frac{1}{n}$

Ma,$|(\frac{1+n}{n})^2-(\frac{1+2n}{2n})^2|=\frac{1}{n} + \frac{3}{4n^2} \geq 1 = \epsilon _0$

Quindi$f(x)=x²$non è uniformemente continua nel dominio$[0,1]$

Non sono sicuro che il mio metodo sia corretto. Qualsiasi suggerimento sarebbe molto apprezzato!

Answer 1

Un altro modo per vedere che la funzione è uniformemente continua$[0,1]$senza usare il teorema di Heine è dimostrare che la definizione di continuità uniforme è soddisfatta.

In effetti, lascia$\varepsilon > 0$. Permettere$\eta = \varepsilon/2$. Per tutti$x,y \in [0,1]$tale che$|x-y|<\eta$, hai$$|x^2-y^2| = |(x-y)(x+y)| \leq 2\eta = \varepsilon$$

Quindi la definizione è soddisfatta.

Answer 2

Il tuo metodo per il dominio$[0,\infty)$è corretto, e anche il tuo risultato è corretto. Ma per il dominio$[0,1]$, non funziona, dal momento che hai scelto$x_n,y_n$non sono nel dominio. Invece, potresti sfruttare il fatto che le funzioni continue su domini compatti sono uniformemente continue.

Answer 3

È certamente uniformemente continuo$[0,1]$. In generale, una funzione continua sarà sempre uniformemente continua su un insieme compatto (come ha sottolineato @Bungo nei commenti).

Per rispondere alla domanda nei commenti:

Ad esempio, per qualsiasi$\varepsilon$, se prendiamo solo$\delta=\frac{100}{4 \times 99} \varepsilon$, noi abbiamo$$f\left(x+ \frac{99}{100} \delta\right) - f(x) \\ = f(x + \varepsilon/4) - f(x) \\ = x^2 + x\varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 - x^2 \\ = x\varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 \\ \leq \varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 \\ \leq \varepsilon/2 + \varepsilon/16 \\ < \varepsilon$$

PS La risposta di @TheSilverDoe è molto più chiara, quindi la controllerei :)