Dimostralo ${{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$

Question

Domanda: supponi$x $è un numero intero non negativo. Definire${{m}\choose {x}}=0$ Se $x>m $. Permettere$\{p_n\}$ essere sequenza soddisfacente $0 <p_n <1$ e $\lim\limits_{n\to\infty} np_n=\lambda$. Dimostralo$${{n}\choose {x}}p _n^x (1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$

È equivalente alla dimostrazione della formula di distribuzione di Poisson? Lo chiedo perché nello statuto della formula di distribuzione di Poisson$np$ è costante ma qui quando $n\to\infty $ $np\to $qualche costante$=\lambda $. Anche nella formula di distribuzione di Poisson$\lim\limits_{n\to\infty} {{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$ ma dobbiamo provare per qualsiasi $n $non ci sono limiti. Quindi la prova del problema e la dimostrazione della formula di distribuzione di Poisson sono uguali?

Nota: non ci sono limiti nella formula del problema. Dobbiamo provare$${{n}\choose {x}}p _n^x (1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$ non $$\lim\limits_{n\to\infty} {{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$

Answer 1

$\boxed{\text{Hint}}$

$$\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}\frac{(np_n)^x}{n^x}\frac{(1-np_n/n)^n}{(1-p_n)^x}$$

Da $\lim_{n\rightarrow\infty}np_n=\lambda$, noi abbiamo $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}(1-np_n/n)^n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\lambda/n)^n=e^{-\lambda}}$$

$$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}(np_n)^x=\lambda^x}$$ e prova a dimostrarlo $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{(n-x)!n^x}=1\\\lim_{n\rightarrow\infty}(1-p_n)^x=1}$$

Answer 2

Il limite che hai scritto è l'affermazione formale del teorema del limite di Poisson .

La versione che hai visto prima ha un'ipotesi leggermente meno generale (forza $np_n = \lambda$ per tutti $n$, piuttosto che $np_n \to \lambda$). Le prove saranno molto simili, ma probabilmente dovrai fare qualcosa in più per l'affermazione più generale.

In entrambe le affermazioni c'è un limite come $n \to \infty$; Non sono sicuro di cosa intendi per "dobbiamo provare per nessuno$n$ non ci sono limiti. "

Answer 3

Per fisso $x$,$$\frac{\binom{n}{x}}{n^x/x!}=\prod_{i=0}^{x-1}(1-i/n)=\exp\sum_{i=0}^{x-1}\underbrace{\ln(1-i/n)}_{\sim-i/n}\approx\exp\frac{-x(x-1)}{2n}\stackrel{n\to\infty}{\to}1.$$Come $n\to\infty$, $1-p_n\to1$ così$$\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}\sim\frac{\left(\frac{np_n}{1-p_n}\right)^x(1-p_n)^n}{x!}\sim\frac{\lambda^x e^{-np_n}}{x!}\stackrel{n\to\infty}{\to}\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}.$$