Dimostralo $x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$ è limitato, monotono e trova il suo limite

Aug 17 2020

Prova che $x_1 = 0, x_2 = 0, x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$è limitato e monotono. Quindi trova il suo limite.

Il mio tentativo di limitazione:

(Usando l'induzione) Per il caso base abbiamo $0 \leq x_1 = 0 \leq 2$. Supponiamo che la sequenza sia limitata per$n = k$. Poi,\begin{align*} 0 \leq x_k &\leq 2 \\ \vdots \\ \text{lower bound } \leq x_{k + 1} &\leq \text{upper bound} \end{align*}

Sono spiazzato dal termine $x_{n + 2}$ nella formula ricorsiva e non riesco a vedere l'algebra per produrre i passaggi precedenti senza ottenere $x_{n + 2}$ nell'espressione del limite superiore / inferiore.

Grazie.

Aggiornare:

Ho aggiunto questo alla prova:

abbiamo $0 \leq x_1 = 0 \leq 2$ e $0 \leq x_2 = 0 \leq 2$. Supponiamo che la sequenza sia limitata per$k+1$,

\begin{align*} 0 &\leq x_{k + 1} \leq 2 \\ 0 &\leq x_k + x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_k + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq \frac{1}{6} x_{k} + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_{k+2} \leq 4 \end{align*}

Pertanto, in base al principio dell'induzione matematica, la sequenza è limitata.

Questo è valido?

Risposte

2 Gary Aug 17 2020 at 01:17

Osservalo $x_1 = 0$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$, $x_4 = \frac{4}{3}$. Possiamo dimostrarlo per induzione$x_n <2$ per tutti $n$. Supponiamo che la disuguaglianza sia vera per$x_1, x_2,\ldots, x_{n+1}$. Poi$$ x_{n + 2} = \frac{1}{3}x_{n + 1} + \frac{1}{6}x_n + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1 = 2. $$Ora mostriamo che la sequenza sta aumentando in modo monotono. Supporre che$x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq \ldots \leq x_{n+1}$ vale per alcuni $n\geq 2$. Poi$$ x_{n + 2} - x_{n + 1} = \frac{1}{3}(x_{n + 1} - x_n ) + \frac{1}{6}(x_n - x_{n - 1} ) \geq 0. $$ Così $x_n$è delimitato dall'alto e crescente, quindi è convergente. Il suo limite$x$ deve soddisfare $$ x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1, $$ cioè, dobbiamo avere $x=2$.

YvesDaoust Aug 17 2020 at 01:34

No, il tuo argomento non è valido. Lo dimostri

$$x_{k+1}\le 2\implies x_{k+2}\le 4.$$

Se applichi l'induzione, questo porta a

$$x_{k+m}\le 2^{m+1}$$ che non è limitato.


Ma puoi usare

$$x_k,x_{k+1}\le2\implies x_{k+2}=\frac{x_k}{3}+\frac{x_{k+1}}6+1\le\frac23+\frac26+1=2.$$

PredatorCorp Aug 17 2020 at 01:41

Per la limitatezza usiamo la Strong Induction, è banale che la sequenza sia positiva. Vogliamo dimostrarlo per tutti$n \in \mathbb{N}$ noi abbiamo $x_{n} < 2$

  1. Per k = 1 abbiamo: $x_{1} = 0 < 2$
  2. Permettere $n \in \mathbb{N}$ e supponiamo che per tutti $k \leq n$ noi abbiamo: $x_{k} < 2$
  3. Abbiamo: $x_{n-1} < 2$ e $x_{n} < 2$
    Poi: $\frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1$
    Quindi: $x_{n+1} < 2$

Per monotonia, usiamo ancora l'induzione per dimostrarlo per tutti $n \in \mathbb{N}$, $x_{n+1} \geq x_{n}$

  1. Per n = 1, è chiaramente quello $x_{2} = 0 \geq x_{1}$ da $x_{1} = 0$
  2. Permettere $n \geq 2$ e supponiamo che per tutti $k \leq n$ noi abbiamo: $x_{k+1} \geq x_{k}$
    Abbiamo: $x_{n} \geq x_{n-1}$ e $x_{n+1} \geq x_{n}$
    Quindi: $\frac{1}{3}x_{n+1} + \frac{1}{6}x_{n} + 1 \geq \frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1$
    Quindi: $x_{n+2} \geq x_{n+1}$

Concludiamo che la sequenza è in aumento e quindi è monotona, e poiché è limitata, la sequenza converge. Permettere$L$ essere il limite della sequenza, quindi $L$ è la soluzione all'equazione $x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1$, che dà quello $L = 2$