Dimostrando che Darboux è integrabile su una funzione a tratti $[0,2]$ assistenza

Question

Permettere $f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}$ essere dato da

$$f(x) = \left\{ \begin{array}\ 10,\quad \ 0\leq x < 1, \\ 100,\quad \ x = 1, \\ -5,\quad \ 1 < x \leq 2. \\ \end{array} \right. $$

Prova che $f$ è Darboux integrabile e calcola $\int_{0}^{2}f$.

Tentativo

Che la funzione sia integrabile Darboux significa per tutti $\epsilon > 0$, esiste una partizione $P$ di $[0,2]$ tale che $U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$.

Supponiamo $P = \{t_{0}, \dots, t_{n}\}$ è una partizione di $[0,2]$ con $t_{j-1} < 1 < t_{j}$.

Per, $t_{0} < \dots < t_{j-1}$: $m_{i} = M_{i} = 10$

Anche per $t_{j} < \dots < t_{n}$: $m_{i} = M_{i} = -5$

Ora ho problemi con la gestione $x = 1$che è dove sta la discontinuità e ovviamente la sfida del problema. All'inizio stavo per dirlo$m_{i} = M_{i} = 100$ qualunque sia l'intervallo in cui si trova il numero 1 e questo mi darebbe:

$$L(f,P) = \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}-5(t_{i} - t_{i-1})$$

e

$$U(f,P) = \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}-5(t_{i} - t_{i-1})$$

Quindi sottraendo questi avrei ottenuto $U(f,P) - L(f,P) = 0 < \epsilon$.

Ma sento che questa non è la risposta giusta e ho bisogno di esprimere la partizione un po 'più esplicitamente. Anche qualunque cosa$U(f,P) - L(f,P)$è, finirà per convergere a ciò che è l'integrale. E quando calcolo l'integrale (come controllo utilizzando tecniche di calcolo precedenti) ottengo$5$che non è il valore della differenza tra le somme superiore e inferiore. Dove sto sbagliando?

Answer 1

Fisso $\varepsilon$ e preso $\delta$ abbastanza piccolo, puoi prendere $$ t_{j-1}=1-\delta,\qquad t_j=1+\delta, $$
così che \begin{align} L(f,P) &= \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + \mathbf{(-5)}(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}(-5)(t_{i} - t_{i-1})=\\ &=10(1-\delta)-5\cdot2\delta-5(1-\delta)=5-15\delta\\ U(f,P) &= \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}(-5)(t_{i} - t_{i-1})=\\ &=10(1-\delta)+100\cdot2\delta-5(1-\delta)=5+195\delta \end{align} in modo da avere $$ U(f,P)-L(f,P)=210\delta<\varepsilon $$ devi scegliere $$ \delta<\frac{\varepsilon}{180}. $$