Dimostrare che il determinante è uguale al polinomio caratteristico

Aug 23 2020

Non ho idea di come dimostrare questa uguaglianza, mostrata qui per la prima volta: Mostra che il determinante di$A$ è uguale al prodotto dei suoi autovalori

$\det (A-\lambda I)=p(\lambda) = (-1)^n (\lambda - \lambda_1 )(\lambda - \lambda_2)\cdots (\lambda - \lambda_n)$

Qualcuno può mostrare come questo sia derivato dalle tre proprietà fondamentali del determinante, espansione cofattore o dalla formula grande (il termine di Strang per la forma di permutazione del determinante)?

So come dimostrare che il file $\det(A- \lambda I)$è un polinomio di dimensione n utilizzando l'espansione del cofattore. E poi, usando il teorema fondamentale dell'algebra, possiamo riscrivere questo polinomio in termini di n radici. TUTTAVIA, due problemi.

  1. Il $(-1)^n$ è inspiegabile.
  2. Il teorema fondamentale dell'algebra lineare dice solo che ci sono n radici, non ci dice che le radici devono essere gli autovalori (cioè ci dice questo: $\det (A-\lambda I)=p(\lambda) = (\lambda - a )(\lambda - b)\cdots (\lambda - z)$)

Risposte

2 AjayKumarNair Aug 23 2020 at 13:34
  1. Quando si calcola il determinante di $A - \lambda I$, noterai che il segno del coefficiente del termine di potenza più alta nel polinomio dipende dall'ordine della matrice. Questo spiega il$(-1)^n$. Questo segno è insignificante in quanto dobbiamo solo trovare le radici.
  2. $\lambda$ soddisfa $\det(A - \lambda I) = 0 \iff A - \lambda I$ non è invertibile $\iff \exists v(\neq 0) \in V$ tale che $(A- \lambda I)v = 0 \iff Av = \lambda v$.
1 Later Aug 23 2020 at 21:41

Secondo la definizione, uno scalare $\lambda$è chiamato un autovalore di un$n\times n$ matrice $A$ se e solo se esiste un vettore diverso da zero $\mathbf{v}$ tale che$$A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v},$$o, equivalentemente$$(\lambda I - A)\mathbf{v}=\mathbf{0},$$ dove $I$ è il $n \times n$matrice identità. Da$\bf{v}$ è un vettore diverso da zero, dobbiamo avere$$\det (\lambda I - A) =0\tag{*}\label{*}$$(Altrimenti, la matrice $\lambda I -A$ sarebbe invertibile, il che implica che potremmo moltiplicare l'equazione per $\det (\lambda I- A)^{-1}$ e così$$(\lambda I -A)^{-1}(\lambda I -A)\mathbf{v}=(\lambda I - A)^{-1}\mathbf{0} \quad \Rightarrow \quad I \mathbf{v}=\mathbf{0} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{v}=\mathbf{0},$$ che è una contraddizione).

Al contrario, un'equazione della forma \ ref {*} in generale è un polinomio di grado $n$, quindi secondo il teorema fondamentale dell'algebra che ha $n$ radici $\lambda _1 , ..., \lambda _n$. Quindi possiamo scriverlo come$$\det (\lambda I -A) =(\lambda - \lambda _1 ) \cdots (\lambda - \lambda _n). \tag{**}\label{**}$$

Ogni $\lambda _i$ deve essere un autovalore della matrice $A$ perché da $\det (\lambda _i I -A)=0$ concludiamo che la matrice $\lambda _i I -A$ non è invertibile$\dagger$ e quindi ci deve essere un diverso da zero $\mathbf{v_i}$ tale che $(\lambda _i I -A)(\mathbf{v_i})=\mathbf{0}$$\ddagger$, che è equivalente a $A \mathbf{v_i}=\lambda _i \mathbf{v_i}$

Ora, se definiamo il polinomio caratteristico di una matrice $A$ come$$p(t)=\det ( A-tI),$$Poi abbiamo$$p(\lambda )=\det (A-\lambda I)=\det (-(\lambda I-A))=(-1)^n\det(\lambda I -A)$$(Abbiamo utilizzato la proprietà di base del determinante affermando che$\det (cA)=c^n \det A$).

Quindi, applicando \ ref {**} possiamo concludere che$$p(\lambda )=\det (A-\lambda I)=(-1)^n (\lambda - \lambda _1) \cdots (\lambda - \lambda _n).$$


Nota

$\dagger$ Ciò deriva dal fatto che se una matrice $A$ è invertibile allora esiste una matrice $B$ tale che $AB=I$ così $$\det (AB)= \det (A) \det (B) = \det (I) =1 \quad \Rightarrow \quad \det (A) = \frac{1}{\det (B)} \neq 0,$$ quindi se il determinante di una matrice è zero, la matrice deve essere non invertibile.

$\ddagger$ Ciò deriva dal fatto che se $Ax=0$ ha solo la banale soluzione quindi la matrice $A$ deve essere invertibile, quindi se una matrice $A$ non è invertibile, deve esserci una soluzione non banale per $Ax=0$. Per ulteriori informazioni, vedere questo post

GZ92 Oct 21 2020 at 20:54

In realtà, oltre alla definizione di polinomio caratteristico (CP) in wikipedia, esiste un'altra definizione equivalente: $p(t) = \prod (t-\lambda_i)^{d_i}$, dove $d_i$ è la molteplicità algebrica dell'autovalore $\lambda_i$. L'ultima definizione è adottata nel libro "Axler, Sheldon. Algebra lineare fatta bene. Springer, 2015."

Basandosi sulla soluzione incompleta di @Ajay, dobbiamo ulteriormente mostrare che la molteplicità algebrica è sempre maggiore della molteplicità geometrica, nel caso in cui la molteplicità geometrica sia maggiore di 1 per qualche autovalore. La prova può essere trovata qui .

Per quanto riguarda il $(-1)^n$, per favore guarda qui .