Dimostrare che la seguente funzione è Riemann Integrable

Question

Permettere $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$essere definito da \ begin {equation *} f (x) = \ begin {cases} x & \ text {if} x = \ frac {1} {n} & \ text {for} n \ in \ mathbb {N} , \\ 0 & \ text {altrimenti} \ end {cases} \ end {equation *} Dimostralo$f$ è Riemann Integrable.

So che questo può essere dimostrato dal fatto che questa funzione $f$ è discontinuo solo in molti punti numerabili $\frac{1}{n}$, quindi è Riemann Integrable.

Voglio vedere la procedura che prevede la ricerca $L(P,f)$ e $U(P,f)$ dove $P$ è stata rilevata una qualsiasi partizione $[0,1]$. Non sono in grado di dimostrare che sia Riemann Integrable utilizzando questa procedura. Qualcuno può aiutarmi per favore? Grazie in anticipo.

Answer 1

È facile dimostrarlo $L(P,f) = 0$ per qualsiasi partizione.

Prendere $x_k = 1/k$, $\epsilon_n = 1/n^2$ (dove $n$ è grande) e una partizione che include i sottointervalli

$$[0, x_n - \epsilon_n], [x_n - \epsilon_n, x_n + \epsilon_n],[x_{n-1} - \epsilon_n, x_{n-1} + \epsilon_n] \ldots , [1- \epsilon_n,1]$$ e dimostralo $U(P,f) = 1/n - 1/n^2 + (n-1) \cdot (2/n^2) + 1/n^2 \underset{n\to \infty}\to 0$.

Per ogni $\epsilon > 0$ possiamo scegliere $n$ tale che $U(P,f) - L(P,f) < \epsilon$ e il criterio di Riemann è soddisfatto.