Dimostrare la convergenza nella distribuzione usando il teorema di continuità di Levy

Aug 16 2020

Sto cercando di risolvere la seguente domanda: le parti (a) e (b) sembrano essere molto simili nella struttura ma non riesco a risolvere la parte (b):


Il mio tentativo:

Per la parte (a), applichiamo il teorema di continuità di Levy. Aggiustare$u \in \mathbb{R}$e nota$$E\left(\exp\left(i\frac{uY_t}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) = E\left(\sum_{n=0}^\infty \mathbf{1}(N_t = n)\exp\left(i\frac{u \sum_{k=1}^n X_M(k)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) \\ = \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-t}t^n}{n!}E\left(\exp\left(i\frac{u \sum_{k=1}^n X_M(k)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) \\ = e^{-t}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(t E\left(\exp\left(i\frac{u X_M(1)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right)\right)^n \\ = \exp \left(-t + t E\left(\exp\left(i\frac{u X_M(1)}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right)\right)$$

dall'indipendenza di$N_t$e il$X_M(k)$e applicando la convergenza dominata per scambiare la somma e l'aspettativa per la seconda uguaglianza e per la proprietà iid di$X_M(k)$per il terzo. Ci occuperemo solo dell'esponente per ora, e per stenografia definiamo$Z \equiv X_M(1)$:

$$-t + tE\left(\exp\left(i\frac{u Z}{\sigma_M\sqrt{t}} \right)\right) = -t + tE\left(\sum_{j=1}^\infty \frac{i^j u^j Z^j}{\sigma_M^j t^{j/2} j!} \right) \\ = -t + t\left(1 + 0 + \frac{i^2E(Y^2)u^2}{2\sigma_M^2 t} + \sum_{j=3}^\infty \frac{i^j u^j E(Z^j)}{\sigma_M^j t^{j/2} j!} \right) $$dove applichiamo ancora DCT e notiamo che dalla simmetria della distribuzione per$Z$che la sua aspettativa è 0.

$$= -\frac{u^2}{2} + \frac{1}{\sqrt{t}} \sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} \quad \quad \quad \textbf{(L)}\\ \xrightarrow{t \rightarrow \infty} -\frac{u^2}{2}$$

dove$c = \frac{i u}{\sigma_M}$. Per ogni$t \ge 1$e la somma di cui sopra ha modulo limitato (di$\exp(|c|M)$per esempio), giustificando così la convergenza della funzione caratteristica a quella di a$N(0,1)$e possiamo concludere la parte (a).


Per la parte (b), ho provato a fare la stessa cosa, che ovviamente richiederà il calcolo di$\sigma_M$poiché non l'abbiamo usato nella parte (a). Si dimostra banalmente che (per brevità mettiamo$\Delta \equiv \arctan(M) - \arctan(-M)$)$$\sigma_{M(t)} = \sqrt{E(X_{M(t)}(1)^2)} = \sqrt{\frac{2M - \Delta}{\pi\Delta}}$$

Credo che la convergenza dopo la retta (L) possa valere se e solo se$$\sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} \xrightarrow{t \rightarrow \infty} 0$$Ho provato a riscrivere il modulo della somma per includere tutte le informazioni su$\sigma_{M(t)}$, cioè uguale a$$\lvert\sum_{j=3}^\infty \frac{c^j E(Z^j)}{j!} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}}\rvert \leq \sum_{j=3}^\infty \frac{u^j}{j!} \left(\frac{M(t)^2\pi \Delta}{2M-\Delta}\right)^{j/2} \cdot \frac{1}{t^{(j-3)/2}} $$Non ho idea di come trarre questa conclusione da qui però. Per favore aiutatemi se potete - ho sprecato una stupida quantità di tempo su questo.

Risposte

1 SangchulLee Aug 16 2020 at 11:43

Notando che esiste una costante$C > 0$per cui

$$ \left| e^{ix} - \left( 1 + ix - \frac{x^2}{2} \right) \right| \leq Cx^3 \tag{*} $$

vale per tutti$x \in \mathbb{R}$, noi abbiamo

\begin{align*} &\left| t \mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{iuX_M}{\sigma_M\sqrt{t}}\right)\right] - \left(t - \frac{u^2}{2} \right) \right| \\ &\leq \frac{C u^3}{\sigma_M^3 \sqrt{t}} \mathbb{E}\bigl[|X_M|^3\bigr] \leq \frac{C u^3}{\sigma_M^3 \sqrt{t}} \mathbb{E}\bigl[M X_M^2\bigr] \leq \frac{C M u^3}{\sigma_M \sqrt{t}}. \end{align*}

Ora notando che

$$ \sigma_M \sim \frac{M}{\sqrt{3}} \quad\text{as}\quad M\to 0^+ \qquad\text{and}\qquad \sigma\sim\sqrt{\frac{2}{\pi}M} \quad\text{as}\quad M\to\infty,$$

possiamo ulteriormente delimitare la differenza come

$$ \left| t \mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{iuX_M}{\sigma_M\sqrt{t}}\right)\right] - \left(t - \frac{u^2}{2} \right) \right| \leq C_2u^3 \frac{\max\{1,\sqrt{M}\}}{\sqrt{t}} $$

per una costante assoluta$C_2 > 0$. Poiché questo limite converge a$0$come$t \to \infty$dall'ipotesi su$M$, segue la conclusione desiderata.


Addendum.

  1. credo che$\pi$al denominatore di$\text{(5)}$è un errore di battitura. La formula corretta sarebbe$$ f_{X_M}(x) = \frac{1}{2\arctan(M)} \frac{\mathbf{1}_{\{|x| \leq M\}}}{1+x^2}. $$

  2. Validità di$\text{(*)}$dipende criticamente dalla restrizione$x \in \mathbb{R}$, e quindi, non può essere ottenuto direttamente dall'espansione in serie di potenze. Tuttavia, ciò può essere dimostrato utilizzando una formula esplicita per il termine rimanente nell'approssimazione di Taylor. Ad esempio, potremmo utilizzare$$ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2i} \int_{0}^{1} (1-s)^2 e^{ixs} \, \mathrm{d}s, $$così dimostrando$\text{(*)}$insieme a$C = \frac{1}{6}$.