Dimostrare la legge di addizione della tricotomia in $\mathbb{N}$ (Assiomi di Peano).

Question

Ho bisogno di aiuto nella mia prova tricotomica legge di addizione in $\mathbb{N}$(Assiomi di Peano). Ho già dimostrato che l'aggiunta è associativa e commutativa. Inoltre ho dimostrato la legge sulla cancellazione e alcuni lemmi utili. Ora ho problemi a dimostrare la seguente proposta:

Permettere $m,n \in \mathbb{N}$. Quindi, è vera esattamente una delle seguenti affermazioni:

1. $m=n$
2. C'è un numero naturale $p \neq 0$ tale che $ m = n + p$.
3. C'è un numero naturale $q \neq 0 $ tale che $n = m + q$.

Il mio tentativo

In primo luogo, ho dimostrato che due di queste affermazioni non possono verificarsi contemporaneamente.

Se $1), 2)$ sono vere, allora $m=m+p$ e dalla legge sulla cancellazione, $p=0$, contraddizione. Questo è analogo per$1),3)$. Quindi, supponi$2),3)$. Poi,$m = m + q + p$, e dalla legge sulla cancellazione, $ 0 = q + p \implies q=p=0$, una contraddizione (ho provato questa ultima affermazione in precedenza). Quindi, non più di 1 affermazione può essere vera.

Ora, almeno devo dimostrarlo $1$delle affermazioni è vero per finire la dimostrazione, ma non so come procedere. So che questa è una domanda classica / di base ma non ho trovato alcun post su questo in MSE. Se tale post esiste, per favore fatemelo sapere e scusa per il ripubblicazione.

Eventuali suggerimenti sono apprezzati.

Answer 1

Lo dimostreremo prima per tutti $n, m$, o $\exists p (n + p = m)$ o $\exists p (m + p = m)$. Procediamo per induzione$m$.

Caso base $m = 0$: Poi abbiamo $m + n = 0 + n = n + 0 = n$.

Case induttivo $m = S(k)$: ci siamo suddivisi in tre sottocasi basati sull'ipotesi induttiva e sul fatto che ogni numero sia un successore o zero.

Sottocaso $k + p = n$ dove $p = S(p')$: Poi abbiamo $n = k + S(p') = S(k + p') = S(p' + k) = p' + S(k) = p' + m = m + p'$.

Sottocaso $k + p = n$ dove $p = 0$: poi $k + 0 = k = n$. Poi$m = S(k) = S(n)$. Poi$m = S(n + 0) = n + S(0)$.

Sottocaso $n + p = k$: poi $n + S(p) = S(n + p) = m$.

Quindi, lo abbiamo dimostrato per ogni $n$, $m$, o $\exists p (n + p = m)$ o $\exists p (m + p = n)$.

Ora desideriamo dimostrarlo per ogni $n, m$, ne abbiamo almeno uno di $n = m$, $\exists p (n + S(p) = m)$, e $\exists p (m + S(p) = n)$.

Supponiamo ora che WLOG $\exists p (n + p = m)$. Ci siamo divisi in due casi. In primo luogo, supponiamo che$p = 0$. Poi abbiamo$n = m$. In secondo luogo, supponiamo di poter scrivere$p = S(p')$. Poi abbiamo$n + S(p') = m$. Il caso$\exists p (m + p = n)$ è simile.

Chiaramente, questo è sufficiente per dimostrare che almeno una delle opzioni nella tua tricotomia è valida.