Dimostrare o confutare i fatti di base su una serie di sovvergenti (definizione inventata)
Sto imparando da solo l'analisi reale Understanding Analysis
di Stephen Abbot. Vorrei chiedere se ho dedotto le conclusioni corrette per le seguenti affermazioni su una serie di subvergenti (definizione inventata).
$\newcommand{\absval}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}$
Definizione . Diciamo che una serie si sovverteggia se la sequenza di somme parziali contiene una sottosequenza convergente.
Considera questa definizione (inventata) per un momento, quindi decidi quali delle seguenti affermazioni sono proposizioni valide sulle serie subvergenti:
(a) Se $(a_n)$ è limitato, quindi $\sum a_n$ sovvertimenti.
(b) Tutte le serie convergenti sono subvergenti.
(c) Se $\sum \absval{a_n}$ sovverge, quindi $\sum a_n$ sovverge pure.
(d) Se $\sum a_n$ sovverge, quindi $(a_n)$ ha una sottosequenza convergente.
Prova. (a) Questa proposizione è falsa. Come controesempio, considera la sequenza$(a_n):=1$. La sequenza delle somme parziali è$s_1 = 1, s_2 = 2, s_3 = 3, \ldots, s_n = n,\ldots$. Nessuna sottosequenza di$(s_n)$converge. Così,$\sum {a_n}$ non è sovvergente.
(b) Poiché la serie è convergente, la successione delle somme parziali converge e quindi anche l'eventuale sottosequenza di somme parziali converge allo stesso limite. Pertanto, tutte le serie convergenti sono subvergenti.
(c) Penso che questa proposizione sia vera. Permettere$(s_n)$ essere la sequenza delle somme parziali dei valori assoluti e $(t_n)$ essere la sequenza delle somme parziali della serie $\sum a_n$.
Per definizione di subvergenza, esiste una sottosequenza $(s_{f(n)})$ di $(s_n)$che converge. Senza perdere di generalità, supponi$(s_{2n})$è una di queste sottosequenze convergenti. Quindi, esiste un file$N \in \mathbf{N}$ tale che, \begin{align*} \absval{\absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m + 4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}} < \epsilon \end{align*}
per tutti $n > m \ge N$.
Usando questo fatto, possiamo scrivere una bella disuguaglianza per la sottosequenza $(t_{2n})$. \begin{align*} \absval{t_{2n} - t_{2m}} &= \absval{a_{2m+2} + a_{2m+4} + \ldots + a_{2n}}\\ &\le \absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m+4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}\\ &\le \absval{\absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m+4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}}\\ &< \epsilon \end{align*}
per tutti $n \ge N$.
Poiché quanto sopra vale per tutte le sottosequenze $(s_{f(n)})$ dove $f(n):\mathbf{N} \to \mathbf{N}$ è una biiezione, $\sum a_n$ è subvergente.
(d) Non riesco a pensare a un controesempio per questo.
Risposte
- Per a) la tua prova è ok
- Per b), ok anche
- Per c), avrei scritto:
Andiamo $a_n^+=\max \{0, a_n\}$ e $a_n^- = \max \{0, -a_n\}$ per tutti $n$.
Allora per tutti $n$, $|a_n|=a_n^+ + a_n^-$ e $a_n = a_n^+ - a_n^-$.
Da $\sum |a_n|$ è subvergente, e $0\leqslant a_n^+ \leqslant |a_n|$ e $0\leqslant a_n^- \leqslant |a_n|$, ce l'abbiamo $\sum a_n^+$ e $\sum a_n^-$ sono subvergenti, quindi la somma $\sum a_n$ è subvergente.
(Il fatto che se $\sum u_n$ converge con $(u_n)$ positivo, quindi per tutti $(v_n)$ positivo tale che $\forall n,v_n\leqslant u_n$ i subverges meriterebbero una prova, ma non è così difficile)
- Per d) definisco $(a_n)$ tale che per $n\geqslant 0$,
$a_{2n} = -n$ e $a_{2n+1} = n + \frac{1}{n^2}$.
Poi $\sum a_n$ converge poiché (se notiamo $S_n = \sum\limits_{k=0}^n a_n$) $S_{2n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ converge quando $n\rightarrow +\infty$.
Ma chiaramente non abbiamo una sottosequenza che converge.