Domanda che coinvolge la somma $\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk^2$

Question

Mi è stato assegnato il compito di dimostrare che la seguente equazione è vera:

$$\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk^2=\begin{cases}0&\text{if }n\ \text{is odd}\\\displaystyle(-1)^m\binom{2m}m&\text{if }n=2m,m\in\mathbb Z^+\end{cases}$$

Non ho praticamente idea da dove cominciare su questa domanda, quindi se avete suggerimenti o indicazioni su come risolverlo, sarebbe fantastico. Presumo che molti termini verranno annullati perché il primo caso lo è$0$e il secondo caso sembra il termine "medio" della somma.

Answer 1

Oltre all'approccio suggerito nei commenti, potresti provare ad analizzarlo in modo combinatorio. Nota che

$$\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}k^2=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}k\binom{n}{n-k}\,.\tag{1}$$

Supponi di avere un pool di file $n$ donne e $n$ uomini, e da questo pool vuoi scegliere una squadra di $n$persone. Ci sono$\binom{n}k\binom{n}{n-k}$ modi per scegliere una squadra con $k$ donne e $n-k$ uomini, quindi $(1)$sta contando positivamente ogni possibile squadra che ha un numero pari di donne e negativamente ogni squadra che ha un numero dispari di donne. Cioè, quella somma è il numero di squadre possibili con un numero pari di donne meno il numero con un numero dispari di donne. Dovresti dimostrare che è così$0$ quando $n$ è strano e $(-1)^m\binom{2m}m$ quando $n=2m$.

SUGGERIMENTO: quando $n$è strano, prova ad accoppiare ogni possibile squadra che ha un numero pari di donne con una che ha un numero dispari di donne. quando$n$ è anche, usa la stessa idea di base per accoppiare ogni possibile squadra che ha una minoranza di donne con una che ha la maggioranza delle donne.

Answer 2

$$(1+X)^n(1-X)^n=\left(1-X^2\right)^{n}=\sum_{m=0}^{n}\binom{n}{m}(-1)^mX^{2m}=\sum_{m=0}^{2n}a_mX^m$$ dove $a_m=0$ Se $m$ è strano e $a_m=(-1)^{m/2}\binom{n}{m/2}$ Se $m$è anche. Ma$$ (1+X)^n(1-X)^n=\left(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}X^k\right)\left(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^kX^k\right)=\sum_{m=0}^{2n}\left(\sum_{k=0}^m (-1)^k\binom{n}{k}\binom{n}{m-k}\right)X^m $$ I coefficienti prima $X^n$ sono gli stessi nelle due espressioni, che abbiamo così, usando $\binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}$, $$ a_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}^2 $$

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \sum_{k = 0}^{n}\pars{-1}^{k}{n \choose k}^{2} & = \sum_{k = 0}^{n}\pars{-1}^{k}{n \choose k}{n \choose n - k} = \sum_{k = 0}^{n}\pars{-1}^{k}{n \choose k}\bracks{z^{n - k}}\pars{1 + z}^{n} \\[5mm] & = \bracks{z^{n}}\pars{1 + z}^{n}\sum_{k = 0}^{n}{n \choose k}\pars{-z}^{k} = \bracks{z^{n}}\pars{1 + z}^{n}\pars{1 - z}^{n} \\[5mm] & = \bracks{z^{n}}\pars{1 - z^{2}}^{n} = \bbx{\bracks{n\ \mbox{even}}\pars{-1}^{n/2}{n \choose n/2}} \\ & \end{align}