Domanda sulle disuguaglianze frazionarie
$a,b$sono numeri interi positivi. Permettere$\frac{a}{b}$essere la frazione con il minimo denominatore possibile$b$tale che$\frac{386}{2019}$<$\frac{a}{b}$<$\frac{35}{183}$. Determina il valore di$a+b$.
Ho provato a semplificare la disuguaglianza, ma sono bloccato. Tuttavia, lo so come$b$deve essere più piccolo, così fa$a$.
Qualche idea su come dovrei fare questa domanda? Grazie per qualsiasi aiuto.
Risposte
Forse il seguente aiuterà.
abbiamo$$386b+1\leq2019a$$e$$35b\geq183a+1.$$Possiamo risolvere l'equazione$35b=183a+1,$che dà$$(a,b)=(13+35k,68+183k),$$dove$k\geq0$è un numero intero, che dà una frazione$\frac{13}{68}.$
Facile vederlo$\frac{13}{68}$non è valido.
Ora possiamo prendere$k=1$,$k=2$,...
Inoltre, possiamo risolvere l'equazione$386b+1=2019a,$che dà$$(a,b)=(373+386k,1951+2019k),$$dove$k\geq0$è intero.
Facile vederlo$\frac{373}{1951}$è valido.
L'ho capito nel primo caso$k=1$è valido, che dà$\frac{48}{251}.$
La frazione continua di$386/2019$è$[0; 5, 4, 2, 1, 29]$.
La frazione continua di$35/183$è$[0; 5, 4, 2, 1, 2]$.
Quindi la frazione più semplice che si trova strettamente tra questi numeri ha frazione continua$$[0; 5, 4, 2, 1, 3]=\dfrac{48}{251}$$