È la densità asintotica degli interi positivi $n$ soddisfacente $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$ uguale a zero?

Aug 18 2020

(Questo post è un ramo di questa domanda MSE .)

Permettere $\sigma(x)$ denota la somma dei divisori di $x$. (https://oeis.org/A000203)

DOMANDA

È la densità asintotica degli interi positivi $n$ soddisfacente $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$ uguale a zero?

Ho provato a cercare esempi e controesempi dell'equazione $$\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$$tramite Sage Cell Server , mi ha fornito questo output per il seguente script Pari-GP :

for(x=1, 100, if(gcd(x,sigma(x^2))==gcd(x^2,sigma(x^2)),print(x)))

Tutti i numeri interi positivi da $1$ per $100$ (ad eccezione dell'intero $99$) soddisfare $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$.

Generalizzare il primo (contatore) esempio di $99$ è banale.

Se ${3^2}\cdot{11} \parallel n$, poi $11 \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ e $11^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2))$. Quindi la densità asintotica in questione è inferiore a$$1-\frac{2}{3^3}\cdot\frac{10}{11^2} = \frac{3247}{3267} \approx 0.993878.$$

Inoltre, se $3 \parallel n$, quindi con probabilità $1$ esistono due numeri primi distinti $y$ e $z$ congruente a $1$ modulo $3$ tale che $y \parallel n$ e $z \parallel n$. In questo caso, otteniamo$3 \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ e $3^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2))$. Quindi la densità asintotica in questione è inferiore a$$1-\frac{2}{3^2} = \frac{7}{9} \approx 0.\overline{777}.$$

Il vero problema aperto è se la densità asintotica lo sia $0$.

Risposte

2 AaronMeyerowitz Aug 19 2020 at 05:30

Penso che la densità vada a zero, ma abbastanza lentamente. Se$p \equiv 1 \bmod 6$ è primo allora ci sono due soluzioni $0<r<s<p-1$ di $$x^2+x+1=0 \bmod p$$

Se $p\parallel n$ quindi, con probabilità $1,$ ci sono due numeri primi distinti $x $ e $ y,$ ciascuno congruente a $r \bmod p,$ con $x \parallel n$ e $y \parallel n.$ (Uno o entrambi potrebbero essere congruenti a $s$ anche.)

Poi $p \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ mentre $p^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2)).$ Quindi la densità asintotica perché questo non accada è $1-\frac{p-1}{p^2}<1-\frac{1}{p+2}$

Se possiamo sostenere che la possibilità che nessuno di questi eventi accada è asintoticamente $\prod(1-\frac{p-1}{p^2})$ sui numeri primi congruenti a $1 \bmod 6,$ allora quella densità asintotica è $0.$