Esempio di isomorfismi delle algebre di Lie

Jan 05 2021

Sto cercando un esempio di algebra di Lie isomorfa. 2 algebre sono isomorfe, se esiste una funzione lineare biiettiva$g_1 \rightarrow g_2$ che mappa tutto $X,Y \in g_1$ piace $\phi([X,Y]) = [\phi(X),\phi(Y)]$.

Quindi 2 algebre di Lie a cui potrei pensare sarebbero il prodotto incrociato in ${\rm I\!R}^3$ e l'algebra del commutatore di un Vectorfield invariante a sinistra, ma non riesco a pensare a una funzione che li mappa come ho affermato prima.

Risposte

4 TorstenSchoeneberg Jan 05 2021 at 14:11

Esempi, ordinati approssimativamente da facile a difficile:

  1. Permettere $\mathfrak g$essere qualsiasi algebra di Lie. La mappa dell'identità$x \mapsto x$ è un isomorfismo da $\mathfrak g$ a se stesso.

  2. Permettere $V$, $W$ essere spazi vettoriali su un campo $k$e definisci le parentesi di Lie su di esse come $[v_1, v_2] = 0$ e $[w_1,w_2]=0$ per tutti $v_1,v_2 \in V$, $w_1,w_2 \in W$. Mostra che le algebre di Lie$V$ e $W$ (con queste parentesi) sono isomorfe se e solo se $V$ e $W$hanno la stessa dimensione. (Questo dovrebbe essere solo un controllo per comprendere gli isomorfismi degli spazi vettoriali, la base assoluta dell'algebra lineare.)

  3. Permettere $k$ essere qualsiasi campo e $\mathfrak{gl}_n(k)$ l'algebra di Lie data da tutti $n \times n$-matrici finite $k$, con la parentesi di Lie data dal commutatore della matrice $[A,B]:= A\cdot B-B\cdot A$ (dove $\cdot$è la solita moltiplicazione di matrici). Permettere$g$essere qualsiasi invertibile $n\times n$-matrice finita $k$, cioè un elemento di $\mathrm{GL}_n(k)$. Mostra che la mappa$$ A \mapsto g\cdot A \cdot g^{-1}$$ è un isomorfismo da $\mathfrak{gl}_n(k)$a se stesso, cioè un auto morfismo di$\mathfrak{gl}_n(k)$.

  4. Permettere $\mathfrak{gl}_n(k)$essere come nell'esempio precedente. La mappa che invia ogni matrice alla sua trasposizione negativa,$$ A \mapsto -A^T$$ è un isomorfismo da $\mathfrak{gl}_n(k)$a se stesso, cioè un auto morfismo di$\mathfrak{gl}_n(k)$.

  5. Permettere $k$ essere qualsiasi campo, $c \in k^\times$, $\mathfrak g_1$ un bidimensionale $k$-spazio vettoriale con base $v_1, v_2$ e la parentesi Lie $[v_1, v_2] = v_2$. Permettere$\mathfrak g_2$ essere un altro bidimensionale $k$-spazio vettoriale con base $w_1,w_2$ e $[w_1,w_2]= c\cdot w_2$. Trova un isomorfismo delle algebre di Lie$\mathfrak g_1$ e $\mathfrak g_2$.

  6. Permettere $\mathfrak g_1$ e $\mathfrak g_2$ essere come nell'esempio precedente, tranne per il fatto che ora è attiva la parentesi Lie $\mathfrak g_2$ è dato da $[w_1,w_2] = a w_1 + c w_2$ dove $c \in k^\times$ e $a \in k$. Trova di nuovo un isomorfismo$\mathfrak g_1 \simeq \mathfrak g_2$. (Per questo e per l'esempio precedente, cfr. Classificare le algebre a 1 e 2 dimensioni, fino a Isomorfismo , Come ottenere un isomorfismo esplicito (definito esplicitamente) tra due qualsiasi algebre di Lie nonabeliane di dimensione$2$, Due Dimensional Lie , bidimensionale Lie - che cosa sappiamo senza conoscere la staffa? )

  7. Permettere $k$ essere qualsiasi campo di caratteristica $\neq 2$, $\mathfrak{sl}_2(k) := \{ A \in \mathfrak{gl}_n(k): Tr(A)=0\}$ l'algebra di Lie di traceless $2 \times 2$-matrici (con parentesi di Lie come nell'esempio 3). Permettere$\mathfrak{so}_3(k) := \{ \pmatrix{a&0&-f\\0&-a&-e\\e&f&0} : a,e,f \in k \}$ (la "forma divisa di $\mathfrak{so}_3$") anche con la parentesi di Lie data dal commutatore di matrice. Trova un isomorfismo tra queste due algebre di Lie. (Confronta le algebre di Lie$\mathfrak{o}_3(\mathbb{C})$ e $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, Prova diretta che$\mathfrak{so}(3)_{\mathbb C}\simeq\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$, Un isomorfismo esplicito tra l'algebra di Lie ortogonale tridimensionale e l'algebra di Lie lineare speciale della dimensione$3$ e link in esso.)

  8. Permettere $\mathfrak{su}_2 := \{\pmatrix{ai&b+ci\\-b+ci&-ai} : a,b,c \in \mathbb R \}$ (un sottospazio reale tridimensionale di $2 \times 2$matrici complesse); convinciti che ancora con la parentesi di Lie data dal commutatore di matrice (come nell'esempio 3), questa è un'algebra di Lie. Mostra che è isomorfo a$\mathbb R^3, \times$cioè l'algebra di Lie reale tridimensionale con parentesi di Lie data dal prodotto incrociato. (Confronta Perché c'è un fattore di$2$ nell'isomorfismo $\operatorname{Lie}(S^3)\cong\mathbb{R}^3$? . Questo sembra essere ciò a cui alludi nella domanda.)

  9. Trova un isomorfismo tra $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C) \oplus \mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$ e il skew-symmetric $4\times 4$ matrici sopra $\mathbb C$. (Cfr. Isomorfismo esplicito tra l'algebra di Lie ortogonale quadridimensionale e la somma diretta di algebre di Lie lineari speciali di dimensione 3. )

  10. Trova un isomorfismo tra la somma diretta di skew-symmetric $3 \times 3$ matrici reali con se stesso e il$4 \times 4$matrici simmetriche asimmetriche reali. (Cfr. Isomorfismo tra$\mathfrak o(4,\mathbb R)$ e $\mathfrak o (3,\mathbb R) \oplus\mathfrak o (3,\mathbb R) $)

  11. Per $\mathfrak g$una vera algebra di Lie, l' estensione / complessificazione scalare $\mathbb C \otimes \mathfrak g$ è un'algebra di Lie complessa con parentesi di Lie data dall'estensione bilineare di $[a \otimes x, b \otimes y]:=ab\otimes [x,y]$. Facile: mostra che la complessificazione di$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ è isomorfo a $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. Più difficile: per$\mathfrak{su}_2$ come definito nell'esempio 8, mostrano che la complessificazione $\mathbb C \otimes \mathfrak{su}_2$ è anche isomorfo a $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$. Bonus: mostra che, nonostante ciò, le vere algebre di Lie$\mathfrak{sl}_2(\mathbb R)$ e $\mathfrak{su}_2$non sono isomorfi tra loro. (Confronta connessione precisa tra complessificazione di$\mathfrak{su}(2)$, $\mathfrak{so}(1,3)$ e $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$, Sono complessificazioni algebriche di Lie$\mathfrak g_{\mathbb C}$ equivalente alle strutture algebriche di Lie su $\mathfrak g\oplus \mathfrak g$? e probabilmente molti altri.)

Inoltre, prova a trovare gli isomorfismi dell'algebra di Lie .