Funzione a valori reali limitata attivata$[0,1]$, non integrabile?

Aug 18 2020

Esiste una funzione del genere? Se sì, deve essere un caso molto patologico. Sto parlando dell'integrabilità di Lebesgue.

Ad esempio, se$f(x)=1$Se$x$è razionale e zero altrimenti, quindi$\int_0^1 f(x)dx = 0$. Quindi devi trovare un esempio più patologico di quello. Un possibile esempio è il seguente.

Permettere$f(x)$essere la realizzazione di una variabile casuale gaussiana$Z_x$con media uguale a$0$e varianza uguale a$1$. Supponiamo che il$Z_x$sono distribuiti in modo identico e indipendente. Tale funzione$f(x)$non è da nessuna parte continuo e può essere visto come la realizzazione di un rumore bianco. Tuttavia, potresti sostenere che è integrale$[0,t]$è il valore$B(t)$di una realizzazione di un moto browniano a partire da$B(0)=0$, e misurato al tempo$t$. così$\int_0^1 f(x) dx = B(1)$. Nota che i moti browniani non sono differenziabili da nessuna parte, quindi forse c'è una contraddizione in quello che sto dicendo qui.

Ad ogni modo, non ho mai trovato controesempi: una funzione limitata$[0, 1]$ma non integrabile in tale intervallo. Puoi mostrare un esempio?

Risposte

3 LL3.14 Aug 18 2020 at 15:44

Permettere$f$essere una funzione limitata su$[0,1]$.

O$f$è misurabile, e poi$$ \int_0^1 |f| ≤ \sup |f|\ \int_0^1 1\,\mathrm d x = \sup |f| < \infty $$Così$f$è integrabile.

O$f$non è misurabile. Questo esiste se si assume l'assioma della scelta. Puoi quindi prendere qualsiasi set non misurabile$\Omega$e prendi$f = \chi_\Omega$la funzione caratteristica di questo set, come suggerito da Nate Eldredge. Quindi, per definizione, questa funzione non è integrabile.