$G$è un punto all'interno del triangolo$ABC$tale che$[GBC]=[GCA]=[GAB]$, dove$[XYZ]$è l'area di$XYZ$. Mostralo$G$è il baricentro di$ABC$.

Question

Permettere$G$essere un punto all'interno del triangolo$ABC$tale che$[GBC]=[GCA]=[GAB]$, dove$[XYZ]$è l'area di un triangolo$XYZ$. Mostralo$G$è il baricentro del triangolo$ABC$.

Il mio tentativo : da allora$[GBC]=[GCA]=[GAB]$, quindi abbiamo$CG$,$AB$e$GB$, sono i$3$mediani, così$G$è il centroide di$ABC$.

Non ne sono sicuro.

Answer 1

Permettere$CG\cap AB=\{C_1\}$,$BG\cap AC=\{B_1\},$ $AG\cap BC=\{A_1\}$,

$S_{\Delta AGC}=S_{\Delta AGB}=S_{\Delta CGB}=s$,$S_{\Delta GBA_1}=a_2$e$S_{\Delta GCA_1}=a_1.$

Così,$$\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{a_2}{a_1}=\frac{s+a_2}{s+a_1},$$che dà$$a_1=a_2$$e da qui$A_1$è un punto medio di$BC$.

Puoi farla finita adesso?

Answer 2

Non proprio, a meno che il triangolo$ABC$è equilatero.

Ma questo suggerisce una linea di ragionamento se puoi usare trasformazioni affini. Abbiamo i seguenti fatti:

1. Sotto una trasformazione affine, il rapporto tra due aree è costante.

2. Se$(ABC)$e$(A'B'C')$sono due triangoli non degeneri, allora esiste una trasformazione affine che mappa l'uno sull'altro.

Di conseguenza, per risolvere il problema in generale è sufficiente risolverlo per un triangolo equilatero. E il gioco è fatto.

Answer 3

C'è una facile dimostrazione se si conoscono le coordinate baricentriche .

In breve, coordinate baricentriche di un punto$M$interno ad un triangolo$ABC$è il sistema$(w_A,w_B,w_C)$di$3$numeri (detti "pesi") da porre sui vertici$A,B,C$per ottenere un centro di massa in$M$.

Esiste un modo semplice per trovare questi pesi (la cosiddetta interpretazione areale delle coordinate baricentriche):

$$w_A=[MBC], \ \ w_B=[AMC], \ \ w_C=[ABM]\tag{1}$$(https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/ray-tracing-rendering-a-triangle/barycentric-coordinates),

Nota: per loro definizione, le coordinate baricentriche sono uniche, fino a un moltiplicatore ; il moltiplicatore più comune è$1/[ABC]$: in questo caso le chiamiamo coordinate baricentriche normalizzate e la loro somma è$1$.

Se tutte le aree$[GBC]=[GCA]=[GAB]$sono uguali, le coordinate baricentriche normalizzate lo sono$(1/3,1/3,1/3)$: riconosciamo quelli del baricentro ; questo permette di concludere per l'unicità delle coordinate baricentriche.

Nota: le coordinate baricentriche hanno senso anche quando$M$è esterno al triangolo$ABC$: basta considerare in (1) che le aree sono aree orientate ; Per esempio$[MBC]$è considerato positivo se va da$M$a$B$, poi a$C$, si gira con l'orientamento diretto, altrimenti$[MBC]$si prende con segno negativo.