generalizzazione di multiinsiemi
Dimostralo per qualsiasi$c,d \in \mathbb{R}$e$k\in\mathbb{N}, \left({c+d\choose k}\right) = \sum_{j=0}^k \left({c\choose j}\right) \left({d\choose k-j}\right).$
So come dimostrarlo${a+b\choose k} = \sum_{j=0}^k {a\choose j}{b\choose k-j}$per$a,b\in \mathbb{R}$usando una dimostrazione algebrica, ma non sono sicuro di come mostrare la versione multiset di questo. So che$\left({n\choose k}\right) = {n+k-1\choose k}$. Ma se lo insistessimo$c,d\in\mathbb{N},$Penso che potrei essere in grado di fornire una dimostrazione combinatoria. Permettere$S$denotare l'insieme di$j$-multiset (cioè di size$j$) di$[1,\cdots, c+d]$. Permettere$C_j$denotiamo l'insieme dei multiinsiemi di dimensione$j$da$[1,\cdots, c]$e$D_{k-j}$denotiamo l'insieme dei multiinsiemi di dimensione$k-j$da$[c+1,\cdots, c+d]$. Permettere$E_j$denotare l'insieme di$k$-multiset da$[1,\cdots, c+d]$insieme a$j$elementi da$[1,\cdots, c].$Osserva che ciascuno$E_j$è disgiunto, e$S = \cup_{j=0}^k E_j\Rightarrow |S| = \sum_{j=0}^k |E_j|\tag{1}.$Inoltre, non è difficile definire una biiezione$f : E_j \to C_j \times D_{k-j}.$Da$|C_j| = \left({c\choose j}\right)$e$|D_{k-j}| = \left({d\choose k-j}\right)$e$ |E_j| = |C_j||D_{k-j}|$, sostituendo questi risultati in$(1)$fornisce l'uguaglianza desiderata. Ma ovviamente, questo funziona solo per$c,d\in \mathbb{N}.$
Risposte
Per fisso$k\in\Bbb N$l'espressione
$$p(c,d)=\left(\!\!\binom{c+d}k\!\!\right)-\sum_{j=0}^k\left(\!\!\binom{c}j\!\!\right)\left(\!\!\binom{d}{k-j}\!\!\right)$$
è un polinomio in$c$e$d$. Se risolviamo$c\in\Bbb N$, diventa un polinomio in$d$. O questo polinomio è identico$0$, oppure ha solo un numero finito di zeri. Da quando è$0$per ciascuno$d\in\Bbb N$, deve essere identico$0$. Così,$p(n,d)=0$per ciascuno$n\in\Bbb N$e$d\in\Bbb R$. Ma ora possiamo tenere$d$fisso e vista$p(c,d)$come un polinomio in$c$, e per lo stesso argomento che il polinomio deve essere identico$0$. Così,$p(c,d)=0$per tutti$c,d\in\Bbb R$.
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\bbox[5px,#ffd]{\mbox{Prove that for any}\ c,d \in \mathbb{R}\ \mbox{and}\ k\in\mathbb{N}, \left(\!{c + d \choose k}\!\right) = \sum_{j = 0}^{k}\left(\!{c\choose j}\!\right) \left(\!{d\choose k - j}\!\right)}:\ {\Large ?}}$.
\begin{align} &\bbox[#ffd,5px]{\sum_{j = 0}^{k}\left(\!{c\choose j}\!\right) \left(\!{d\choose k-j}\!\right)} = \sum_{j = 0}^{k}{c^{\,\large\overline{j}} \over j!} {d^{\,\overline{k - j}} \over \pars{k - j}!} \\[5mm] = &\ {\pars{c + d + k - 1}! \over \pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}\,{1 \over k!} \sum_{j = 0}^{k}{k! \over j!\pars{k - j}!} {\Gamma\pars{c + j}\Gamma\pars{d + k - j} \over \Gamma\pars{c + d + k}} \\[5mm] = &\ {\pars{c + d + k - 1}! \over \pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}\,{1 \over k!} \sum_{j = 0}^{k}{k \choose j}\int_{0}^{1}t^{c + j - 1} \pars{1 - t}^{d + k - j - 1}\,\dd t \\[5mm] = &\ {\pars{c + d + k - 1}! \over \pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}\,{1 \over k!}\int_{0}^{1}t^{c - 1}\pars{1 - t}^{d + k - 1} \sum_{j = 0}^{k}{k \choose j}\pars{t \over 1 - t}^{j}\,\dd t \\[5mm] = &\ {\pars{c + d + k - 1}! \over \pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}\,{1 \over k!} \int_{0}^{1}t^{c - 1}\pars{1 - t}^{d + k - 1}\, \pars{1 + {t \over 1 - t}}^{k}\,\dd t \\[5mm] = &\ {\pars{c + d + k - 1}! \over \pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}\,{1 \over k!} \int_{0}^{1}t^{c - 1}\pars{1 - t}^{d - 1}\,\dd t \\[5mm] = &\ \require{cancel} {\pars{c + d + k - 1}! \over \cancel{\pars{c - 1}!\pars{d - 1}!}} \,{1 \over k!} \bracks{\cancel{\pars{c - 1}!\pars{d - 1}!} \over \pars{c + d - 1}!} = {c + d + k - 1 \choose k} \\[5mm] = &\ \bbx{\large\left(\!{c + d \choose k}\!\right)} \\ & \end{align}