Generalizzazione di una superficie integrale a 4 dimensioni
Sto cercando di valutare un integrale di superficie, ma invece di utilizzare una superficie in$\mathbb{R}^3$, utilizzando una superficie in$\mathbb{R}^4$.
Vale a dire,
$\oint_S f(x,y,z,w)\,dS$, dove S è dato da alcuni$r(u,v,t) = \left( x(u,v,t) , y(u,v,t) , z(u,v,t) , w(u,v,t)\right)$
Quindi come un integrale di linea ha a$|r'(t)|$, un integrale di superficie ha un fattore di$|r_u \times r_v|$, ho letto una generalizzazione di questo usando la radice quadrata di una matrice Gramiana, di cui non avevo mai sentito parlare prima di ricercarla ora, ma non so come calcolarla esattamente per una funzione parametrica da$\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4$, come abbiamo qui per$r(u,v,t)$.
Qualcuno può aiutarmi con questa valutazione? Implica l'integrazione di forme differenziali e varietà? Conosco un po' di geometria differenziale, ma non molto.
Come valuto questi integrali e qual è il$\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4$analogico di$|r_u \times r_v|$?
Risposte
Se vuoi saperne di più sull'impostazione generale, dai un'occhiata a questa mia risposta precedente su Integrazione utilizzando elementi di superficie e volume . Il$|r'(t)|$e$|r_u \times r_v|$menzioni per gli integrali di linea e di superficie (in$\Bbb{R}^3$) sono semplicemente la radice quadrata della matrice Gramiana determinante (lascio a voi verificarlo).
Nel tuo caso particolare, da allora$S$si trova all'interno di uno spazio euclideo, possiamo dargli la metrica riemanniana indotta (cioè possiamo prendere prodotto punto/interno di vettori che sono tangenti alla superficie$S$). Quindi, ecco cosa facciamo: per prima cosa costruiremo a$3\times 3$funzione matriciale$G$come segue:\begin{align} G &= \begin{pmatrix} \left\langle \frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial u}\right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial v} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial t}\right\rangle \\ \left\langle \frac{\partial r}{\partial v}, \frac{\partial r}{\partial u} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial v}, \frac{\partial r}{\partial v} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial v}, \frac{\partial r}{\partial t} \right\rangle\\ \left\langle \frac{\partial r}{\partial t}, \frac{\partial r}{\partial u} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial t}, \frac{\partial r}{\partial v} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial t}, \frac{\partial r}{\partial t} \right\rangle \end{pmatrix} \end{align}Si noti che questa è una funzione con valori di matrice che significa per ciascuno$(u,v,t)$,$G(u,v,t)$è un$3\times 3$-matrice simmetrica di numeri ottenuta valutando tutte le suddette derivate parziali al punto$(u,v,t)$.
Poiché il prodotto scalare è simmetrico:$\langle v,w\rangle = \langle w,v\rangle$(e nel caso di questo prodotto scalare euclideo è giusto$\sum_i v^iw^i$), ne consegue che$G$è una matrice simmetrica, quindi se devi effettivamente calcolare un esempio specifico, devi solo calcolare la porzione triangolare superiore. Come esempio molto esplicito, il$(1,3)$ingresso di questa matrice è\begin{align} \left\langle \frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial t} \right\rangle &= \dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial x}{\partial t} + \dfrac{\partial y}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial t} + \dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial z}{\partial t} + \dfrac{\partial w}{\partial u}\dfrac{\partial w}{\partial t}. \end{align}Supponiamo ora che la parametrizzazione sia$r:A\subset \Bbb{R}^3\to r[A] = S\subset\Bbb{R}^4$. Quindi,\begin{align} \int_S f \, dS &= \int_A f\circ r \cdot \sqrt{\det G} \\ &\equiv \int_A f(r(u,v,t)) \cdot \sqrt{\det[G(u,v,t)]}\, du\,dv\,dt. \end{align}(dove$\equiv$significa "la stessa cosa in diversa notazione"). Ora, questo triplo integrale finito$A\subset \Bbb{R}^3$può essere calcolato ad esempio utilizzando il teorema di Fubini.