Generazione dell'intuizione della funzione
Sto cercando di capire l'uso della generazione di funzioni. Ho capito che possiamo comprimere una sequenza in una funzione generatrice, in modo che ogni coefficiente del polinomio che genera sono gli elementi della sequenza. Ma non capisco cosa cambiano gli input?
Diciamo di avere la funzione generatrice: $$G(x)=\sum^\infty_{k=0} p_k x^k$$
Cosa succede quando diamo valori diversi a $x$, cosa sta cambiando intuitivamente? Ho pensato che il$x^k$ termine era lì per codificare la posizione del coefficiente nella sequenza, poiché non possiamo aggiungere $p_ax^a$ e $p_bx^b$ Se $ a \neq b$, in modo che i termini rimangano eterogenei. Ma ho visto che per una distribuzione di probabilità la proprietà$G(1)=1$deve reggere. È questo l'unico caso in cui è utile dare un valore a x?
Grazie mille in anticipo per le spiegazioni.
Risposte
Se $X$ è una variabile casuale discreta che assume valori negli interi non negativi $\{0,1, \dots\}$, quindi la funzione generatrice di probabilità di $X$ è definito come:
$$\color{blue}{\displaystyle G(z)=\mathbb{E} \left(z^{X}\right)=\sum_{x=0}^{\infty }p(x)\;z^{x}}$$
dove $p$ è la funzione di massa di probabilità di $X$. La scelta di$z$ invece di $x$è semplicemente correlato all'idea che ciò che stiamo facendo è una trasformazione z .
Notare in ciò che segue $z$ è agire come una corda da bucato per appendere i valori di interesse, che vengono recuperati dopo aver differenziato e valutato $0$ per recuperare il PMF, o in $1$per i momenti, rispettivamente. Questa magia avviene grazie al fatto che$z$ o diventa $0$ nell'intera coda di termini (PMF), o $1.$ Ma in entrambi i casi non è correlato alla variabile casuale e non fornisce alcuna informazione: è l'equivalente di una variabile fittizia.
CARATTERISTICHE:
- TI DÀ PROBABILITÀ differenziando:
$$\color{blue}{\large p_i = \left. \frac{1}{i!}\quad\frac{d^i \, G(z)}{dx^i} \right|_{z=0}=\frac{1}{i!} \;G^{(i)}\;(0)}$$
$G\,(1)=1$ perché $$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty p_i \; 1^i=1$$
Primo differenziale
$$G^{(1)}(z) =\frac{d}{dz}\mathbb E\left[z^X\right]=\mathbb E\left[X\,z^{X-1}\right]$$
Il primo differenziale valutato a $1$ ti dà la media: $$G^{(1)}(1) =\left.\mathbb E\left[X\,z^{X-1}\right]\right|_{z=1}=\mathbb E\left[X\quad1^{X-1}\right]= \mathbb E[X].$$
La derivata seconda valutata a $1$ è il momento fattoriale, e NON è la varianza, perché il secondo termine non è quadrato.
$$\begin{align}G^{(2)}\;(1) &=\frac{d^2}{dz^2}\; \left.\mathbb E\left[z^X\right]\right|_{z=1}\\[2ex]&=\mathbb E\left[X\;(X-1)\;z^{X-2}\right]\\[2ex]&=\mathbb E\left[X\;(X-1)\right]\\[2ex]&=\mathbb E\left [X^2-X\right ]\\[2ex]&=\mathbb E\left[X^2\right] - \mathbb E\left[X\right]\end{align}$$
- Generalizzando, quindi, il $i$-esima derivata valutata a $1$ è il $i$-esimo momento fattoriale:
$$G^{(i)}\;(1)= \mathbb E\left[X\;(X-1)\;\cdots\;(X-i+1)\right]$$
- Per ottenere la varianza,
$$\begin{align}\sigma^2 &= \mathbb E\left[X^2\right]-\mathbb E\left[X\right]^2 \\[2ex] &=G^{(2)}\;(1)+G^{(1)}\;(1)-\left[G^{(1)}\;(1)\right]^2 \end{align}$$
- Possiamo ottenere momenti grezzi differenziando il pgf e moltiplicandolo $z$:
$$\mathbb E\left[X^i\right]= \left. \left( z\;\left(\frac{d}{dz}\right)^i \; G(z)\right)\right|_{z=1}$$