$h^{p,q}$ di un toro complesso.

Question

Come sappiamo, una superficie Kähler compatta con banale fascio canonico è una superficie K3 o un toro di dimensione 2. Lo so $h^{0,2}$ di una superficie K3 è 1, e lo so $h^{0,2}$ di un toro non deve essere zero (altrimenti è sempre algebrico), ma non so come calcolare $h^{0,2}$ di un toro complesso di dimensione 2.

A proposito, esiste un metodo generale per calcolare tutti i numeri di Hodge di un toro di dimensione complesso $n$? Eventuali commenti sono ben accetti!

Answer 1

Dato che usi la teoria del tag Hodge: uno può dare $\mathbb C^n/\Gamma$ la metrica piatta da quella di $\mathbb C^n$. Quindi è sufficiente trovare tutte le forme armoniche.

Poiché il fascio cotangente complessato è banale e attraversato dalle forme globali $$dz^1, \cdots dz^n, d\bar z^1\cdots, d\bar z^n,$$ tutti $(p, q)$-forme su $\mathbb C^n/\Gamma$ sono dati a livello globale da $$ \alpha = \alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q} dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q}.$$

dove $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q} \in C^\infty (\mathbb C^n/\Gamma)$. Da

$$\Delta \alpha = (\Delta \alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}) dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q},$$

Se $\alpha$ è armonico, $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}$devono essere funzioni armoniche. Da$\mathbb C^n /\Gamma$ è compatto, $\alpha_{i_1\cdots i_p j_1\cdots j_q}$sono costanti per principio del massimo. Così$H^{p,q}$ è attraversato da $$\{ dz^{i_1}\wedge \cdots \wedge dz^{i_p} \wedge d\bar z ^{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z^{j_q}\}_{i_1<\cdots<i_p, j_1<\cdots <j_q}.$$

e

$$h^{p,q} = C^n_p C^n_q.$$