Ideale del confine di$G/U \subset \overline{G/U}$

Question

Permettere$G$essere un gruppo algebrico semisemplice,$B \subset G$è un sottogruppo di Borel e$U \subset B$è il radicale unipotente di$B$. Possiamo considerare la varietà$G/U$. Indichiamo anche$\overline{G/U}:=\operatorname{Spec}(\mathbb{C}[G/U])$. È noto che il morfismo naturale$G/U \rightarrow \overline{G/U}$è un incorporamento aperto. Permettere$\partial{G/U}$essere il confine di$G/U$dentro$\overline{G/U}$. Nota ora che$\mathbb{C}[G/U]=\bigoplus_{\mu} V(\mu)$, dove la somma scorre attraverso i caratteri dominanti$\mu$di$G$(fissiamo qualche toro massimale$T \subset B$, qui$V(\mu)$è la rappresentazione irriducibile di$G$con il peso più alto$\mu$).

Affermazione: l'ideale di$\partial{G/U} \subset \overline{G/U}$è generato da$V(\mu)$insieme a$\mu$essendo regolare (strettamente dominante). Come dimostrare questa affermazione? Forse ci sono dei riferimenti?

Answer 1

Ecco un modo per vederlo, tramite la classificazione$G$-ideali radicali invarianti. (Questo ha il vantaggio di descrivere implicitamente il confine.)

Lemma: $G$-ideali invarianti$I$di$\mathbb{C}[G/U]$sono in biiezione con insiemi di pesi$S$così che per$\lambda\in S$e$\mu > \lambda$,$\mu\in S$. Un tale ideale è radicale se non altro per tutti$\lambda\notin S,$noi abbiamo$n\lambda\notin S$per tutti i numeri interi positivi$n$.

Per vedere questo, nota che$G$-l'invarianza te lo dice$I$deve dividere come una somma$$\displaystyle\bigoplus_{\lambda\in S}V(\lambda)$$per qualche set$S$. Ora se$\lambda\in S,$la mappa di moltiplicazione$V(\mu-\lambda)\otimes V(\lambda)\rightarrow V(\mu)$è suriettiva e quindi$\mu > \lambda$deve essere anche dentro$S$.

L'affermazione sugli ideali radicali segue in modo simile.

Da questa affermazione, puoi vedere che il minimo diverso da zero$G$-l'ideale radicale invariante (che taglia necessariamente il confine) corrisponde alla presa$S$l'insieme di tutti i pesi regolari.