Ideali massimi di $C^1[0,1]$

Aug 23 2020

Quali sono gli ideali massimi di $C^1[0,1]$?

Sappiamo che gli ideali massimi di $C[0,1]$ sono della forma $\{f:f(x)=0\}$ e usiamo la compattezza di $[0,1]$ per dimostrarlo, ma come troviamo i massimi ideali di $C^1[0,1]$?

Questa domanda è posta nel nostro corso sulle Algebre di Banach.

Risposte

1 Matematleta Aug 24 2020 at 01:52

La dichiarazione è: fix $x\in [0,1]$ e impostare $I_x:=\{f\in C([0,1]):f(x)=0\}.$ Poi $I_x$è massimo. Al contrario, ogni ideale massimale è di questa forma. Schizzo di prova:

Se $I_x\subsetneq J$ poi c'è un file $g\in J\setminus I_x$. Poi,$h=g/g(x)\in J$ e $h-1\in I_x$. Ne consegue che$1=h+(1-h)\in J$ così $J=C([0,1]).$

Al contrario, se $J$ è massimo, ma non della forma pubblicizzata, quindi per ogni $a\in [0, 1]$ C'è un $f_a \in J$ tale che $f(a)\neq 0.$ Ne consegue che c'è un neigborhoof $a\in N_a$ tale che $x\in N_a\Rightarrow f_a(x)\neq 0.$ Scrivi $[0,1]=\bigcup_{i_1}^MN_{a_i}$ per un numero intero $M$ e metti $g=\sum_{i=1}^Mf^2_{a_i}.$ Poi, $g>0$ così $1/g\in J$ e quindi $1=g/g\in J\Rightarrow J=C([0,1]).$