Identificare una funzione non analitica che si sovrappone a una determinata funzione

Question

Capisco che, a causa del teorema dell'identità nell'analisi complessa, due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ sono uguali se esiste un intervallo $(a,b)$, dove $a<b$, tale che $f(x)=g(x)$ per ogni valore in $(a,b)$, forniti entrambi $f$ e $g$ sono analitici.

Tuttavia, c'è un modo per trovare funzioni non analitiche che prescrivono effettivamente questo comportamento? Sembra che le funzioni bump siano da qualche parte nella giusta direzione, ma non riesco a vedere come potrebbero fare quello che sto cercando.

Ad esempio, se hai una funzione $f(x) = x^2$, esiste un metodo per trovare una regolare funzione non analitica $h(x)$ in modo che un certo intervallo, diciamo $(1, 2)$, $h(x)=x^2$, ma non è uguale $f(x)$per ogni valore al di fuori di tale intervallo? È semplice costruire una funzione a tratti non uniforme, ma non è quello che sto cercando.

Answer 1

Prendi ad es $e^z$ e $e^{\Re z}$. Sono d'accordo su tutti$\mathbb{R}$, ma il secondo è chiaramente non analitico.