Il minimo poli di $\sqrt[3]{2}$ al di sopra di $\Bbb{Q}$ è uguale a $\det(T_a - xI)$ dove $T_a$ è una matrice finita $\Bbb{Q}$che rappresenta mult. di $a$.

Question

Permettere $K/F$ essere un'estensione del campo di laurea $n \in \Bbb{N}$ e per ciascuno $a \in K$ definire $L_a(x) = a x$. Poi$L_a(x)$ è un $F$-trasformazione lineare di $K$ come uno spazio vettoriale di dimensione $n$. Quindi invia$K$ in $F^{n \times n}$ l'anello matrice inviando $a$ per $T_a = [ L_a(\theta_1) \ \cdots \ L_a(\theta_n) ]$ dove astrattamente abbiamo $L = \{ a_1 \theta_1 + \dots + a_n \theta_n : a_i \in F\}$ per alcuni $\theta_i$ base in $K$.

Quindi per $a \in K$, $f(x) = \det (T_a - xI) \in F[X]$ il polinomio caratteristico, abbiamo quello $f(a) = 0$ cioè quello $a$ è una radice del polinomio caratteristico che è monico di grado $n$ così è in effetti il ​​polinomio caratteristico $m_{a, F}(x)$ il polinomio minimo per $a$ al di sopra di $F$.

Sto cercando di dimostrarlo nel caso generale, cioè quello $f(a) = 0$ o equivalentemente quello $T_a(y) = ay$ per tutti $y \in F^n$.

Quello che ho finora è:

$$ T_a(y) = \sum_{i=1}^n y_i L_a(\theta_i) \\ \implies T_a(y) = \sum_{i=1}^n y_i (a \theta_i) = a \cdot \dots $$

Quindi ho capito finora. Quindi il problema dice: prova questa idea per trovare il monic del grado$3$ soddisfatto da $a = \sqrt[3]{2}$.

Quindi voglio calcolare il determinante di:

$$ \begin{pmatrix} x - \sqrt[3]{2} & 0 & 0 \\ 0 & x - \sqrt[3]{4} & 0 \\ 0 & 0 & x - 2 \end{pmatrix} $$

dove ho invertito il segno per semplicità. Ho calcolato quanto sopra moltiplicando$\theta_1 = 1, \theta_2 = \sqrt[3]{2}, $ e $\theta_3 = \sqrt[3]{4}$ di $a$ e sottraendo quello da $x$.

Sto ottenendo:

$$ x^3 - 2 x^2 + (2 + 2\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{4}) x - 4 $$

che non è un polinomio finito $F$. Il brutto termine che ho ottenuto facendo$(-\sqrt[3]{2})(-2) + (-\sqrt[3]{4})(-2) + (-\sqrt[3]{2})(-\sqrt[3]{4})$ in modo logico e simmetrico.

Dove ho sbagliato nel mio calcolo?

Answer 1

Penso che tu abbia calcolato $T_a$in modo errato. Presumo tu stia usando la base ordinata$(1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4})$ per $K$ come $\mathbb Q$-spazio vettoriale ( modifica: vedo che lo sei). Quindi applicando$L_a$ al primo vettore di base dà $L_a(1)=\sqrt[3]{2}$. In termini di vettori di coordinate relativi a questa base ordinata, questo è$$L_a\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$$ quindi questa dovrebbe essere la prima colonna di $T_a$. Lascio a te il controllo delle altre colonne.

Infine, una piccola nota: dovrebbe essere $\det(xI-T_a)$ affinché il polinomio minimo sia monico.