Il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati (ogni numero primo$p$st$p \not\equiv 3 \pmod 4$è la somma di due quadrati)

Question

Sto riflettendo la seguente prova (vedi sotto). La mia domanda è dove utilizza il fatto dato ($p \not\equiv 3 \pmod 4$)? Non sono sicuro che utilizzi questo fatto, e in un certo senso mi fa pensare che qualcosa non va. Apprezzerei il tuo aiuto.

Bozza di una eventuale prova parziale. Permettere$p = 3 \pmod 4$essere un numero primo. Supponiamo che$p = a^2 + b^2$. Quindi$a^2 + b^2 = 0 \pmod p$, implicando che$a^2 = -b^2 \pmod p$. Alzando entrambi i lati$(p-1)/2$, quindi usando il piccolo teorema di Fermat che abbiamo visto nel problema 6, concludiamo che$p \mid 2$.

Answer 1

Presumo ci sia un errore di battitura nella domanda. Se$p \equiv 1 \pmod{4}$,$(p-1)/2$è un numero pari quindi otterresti$1 \equiv 1 \pmod{p}$il che non è un controsenso. Solo quando$(p-1)/2$è strano, otterresti$ 1 \equiv -1 \pmod{p}$.

Answer 2

Suggerimento: ogni quadrato perfetto è congruente a$\ 0\ $o$\ 1\ $modulo$\ 4\ $. Questo può essere facilmente dimostrato dai casi. E da ciò segue facilmente che un numero primo della forma$\ 4k+3\ $non può essere la somma di due quadrati perfetti.

Answer 3

La domanda è dove stai usando il fatto che$p\equiv 3\mod 4$. Risposta: stai usando il fatto che$(p-1)/2$è strano e così

$$(-b^2)^{\frac{p-1}{2}}=-1\mod p.$$

Questo è vero solo se$p\equiv 3\mod 4$