Integrare una funzione razionale "contorta"

Question

Per $x\in [0,1]$, permettere $$ P_n (x) = \prod_{k=1}^{n} (x^k+1)^{(-1)^k}. $$Per esempio, $\displaystyle{P_4(x) = \frac{(x^2+1)(x^4+1)}{(x+1)(x^3+1)}}$. Di nota:$P_n(1)=1/2$ Se $n$ è strano e $1$ Se $n$ è pari, quindi non possiamo aspettarci una convergenza uniforme su $[0,1)$. Mi interessa il limite$\lim_{n\to\infty}P_n(x)$, se esiste, e diversi integrali correlati, vale a dire:

• Se $P(x):=\lim_{n\to\infty}P_n(x)$ esiste e, in caso affermativo, di cosa si tratta
• $I_n:=\int_0^1 P_n(x)\,dx$ (questo sembra essere il range naturale di integrazione poiché vogliamo evitare numeri negativi e la versione con indice pari esplode per $x>1$)
• $I:=\int_0^1 P(x)\,dx$

Ho calcolato i primi valori di $I_n$ a mano: $$ \left\{\log (2),\log (4)-\frac{1}{2},\frac{1}{27} \left(9+2 \sqrt{3} \pi \right),\frac{5}{2}+\frac{\pi }{9 \sqrt{3}}-\frac{8 \log (2)}{3}\right\} $$Poi ho calcolato $20$valori utilizzando un CAS; la sequenza sembra alternarsi all'aumento dei valori dispari e alla diminuzione dei valori pari (come previsto). ho ottenuto$I_{1000}\approx 0.79496$ e $I_{1001}\approx 0.794376$, quindi indovino il limite $I$ è da qualche parte tra di loro.

Ho visto infiniti prodotti prima, principalmente nel contesto di alcuni materiali introduttivi che ho letto sulle serie ipergeometriche, quindi sentiti libero di usarli nella tua risposta!

Answer 1

Il prodotto infinito $$P(x) = \prod_{k=1}^\infty (x^k+1)^{(-1)^k}$$ converge a un valore diverso da zero se $|x| < 1$ perché $$\sum_{k=1}^\infty \log \left((x^k+1)^{(-1)^k}\right) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \log(x^k+1)$$converge. I suoi coefficienti della serie Maclaurin sono la sequenza OEIS A083365 . Secondo quello,$P(x) = \psi(x) / \phi(x)$ dove $\psi(x)$ e $\phi(x)$ sono funzioni theta Ramanujan.