Jacobson radicale dell'anello polinomiale
Definizione: Let$M$ fagiolo $R$modulo. Poi Jacobson radicale di$M$ è indicato da $J_R(M)$ e definito come l'intersezione di tutti i sottomoduli massimi di $M$. Se$M$ non ha alcun sottomodulo massimale allora $J_R(M)=M$.
Permettere $R$ essere un anello commutativo e $S=R[x]$essere l'anello polinomiale. Sappiamo che Jacobson radicale di$S$ è $Nil(R)[x]$ quando $S$ è considerato come $S$modulo. cioè$J_S(S)=Nil(R)[x]$.
La mia domanda: di cosa sarà il radicale Jacobson$S$ quando $S$ è considerato come $R$modulo? cioè$J_R(S)=?$
Mi aiuti per favore. Ti sarò molto grato.
Risposte
Prima nota che $S\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}R$ come $R$-modulo. Inoltre il radicale jacobson conserva somme dirette, quindi$$J_R(S)\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}J_R(R)$$ questo è il sottomodulo dei polinomi con coefficienti in $J_R(R)$.
Per dimostrare che il radicale Jacobson commuta con la somma diretta dei moduli, prima nota che ogni $R$-omomorfismo del modulo $\varphi:M\to N$ mappe $J_R(M)$ in $J_R(N)$. Applicando questo alle proiezioni canoniche$\bigoplus_iM_i\to M_i$ dà $J_R(\bigoplus_iM_i)\subseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$. Allo stesso modo, considerando le inclusioni canoniche$M_i\to\bigoplus_iM_i$ otteniamo l'inclusione inversa $J_R(\bigoplus_iM_i)\supseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$.