La funzione continua con derivata dini superiore maggiore di 0 implica che la funzione è in aumento

Question

Permettere $f$ essere continuo $[a,b]$ con $\bar D f \geq 0$ (derivato di Dini superiore di $f$) sopra $(a,b)$. Dimostralo$f$ è in aumento $[a,b]$. Suggerimento: mostra che questo è vero per$g$ con $\bar D g \geq \epsilon > 0$ sopra $[a,b]$. Applicalo alla funzione$g(x) = f(x) + \epsilon x$.

Questa è la domanda 19 del capitolo 6.2 della quarta edizione di Royden-Fitzpatrick Analysis.

Il mio approccio è il seguente

1. $g$ è continua in quanto è la combinazione lineare di 2 funzioni continue.
2. $\bar D g = \bar D f + \epsilon \geq \epsilon > 0$ che significa $g$ è rigorosamente in aumento $(a,b)$.
3. $f = g - \epsilon x$ e $\bar D f = \bar D g - \epsilon \geq 0$ implica $f$ è in aumento (non è in diminuzione) $(a,b)$.

Ha senso? Grazie per qualsiasi aiuto. La domanda è anche relativa alla funzione Continua attiva$[a, b]$ con derivate superiori e inferiori limitate attive $(a, b)$ è Lipschitz.

Answer 1

Come fai a saperlo $2$tiene? In effetti, questo è il succo della prova, a meno che io non stia interpretando male la tua domanda, devi fare un po 'di lavoro. (Disegnare un'immagine aiuterà!) Per prima cosa, supponilo$\bar D f >0$ sopra $(a,b)$. Se ci sono$a<c<d<b$ tale che $f(c)>f(d)$ allora possiamo scegliere $f(c)>\mu>f(d)$. Permettere$S=\{t\in (c,d):f(t)>\mu\}$ e considera $\xi=\sup S.$ Nota che $c<\xi<d$. Prendi una sequenza crescente$(t_n)\subseteq (c,d)$ tale che $t_n\to \xi.$ Poi, $f(t_n)\to f(\xi)$. Se$f(\xi)\neq \mu$ poi c'è un file $\mu<\alpha<f(\xi)$. Continuità di$f$ ora implica che c'è un intervallo $I=(\xi,\xi+\delta)$ tale che $t\in I\Rightarrow f(t)>\alpha>\mu$. Ma questo contraddice la definizione di$\xi.$ Quindi, $f(\xi)= \mu.$

Lo abbiamo dimostrato per ciascuno $t\in (\xi,d),\ \frac{f(t)-f(\xi)}{t-\xi}\le0$e concludiamo che $ D^+ f(\xi)\le 0$, che è una contraddizione. Pertanto, l'affermazione è vera per la rigida disuguaglianza e$now$ definiamo $g_{\epsilon}(t)=f(t)+\epsilon t$. Ne consegue che$\bar D g_{\epsilon} >0$ sopra $(a,b)$ così $g_{\epsilon}$ non è in diminuzione lì, e come $\epsilon$ è arbitrario, $f$ è anche non decrescente.