Limite della distribuzione ipergeometrica quando la dimensione del campione cresce con la dimensione della popolazione
Considera la scelta $Mn/6$ palline da una popolazione composta da $M$ palle di ciascuno di $n$ colori (così $Mn$palline in totale). Quindi la funzione di densità del campione è data da una distribuzione ipergeometrica multivariata:$$f(x_1,\ldots, x_n) = \frac{\binom{M}{x_1}\cdots\binom{M}{x_n}}{\binom{Mn}{Mn/6}}.$$ Si può dire qualcosa sul comportamento limitante della distribuzione come $M\to\infty$, dove il numero di colori $n$è aggiustato? Poiché la dimensione del campione cresce alla stessa velocità della dimensione della popolazione, questa non convergerebbe a una distribuzione binomiale / multinomiale come accadrebbe se la dimensione del campione fosse fissata. Qualsiasi aiuto è apprezzato! (Il$1/6$ in $Mn/6$ è arbitrario, sono solo curioso in generale del caso in cui la dimensione del campione è sempre una frazione fissa della dimensione della popolazione).
Immagino che non mi sorprenderebbe se non si potesse dire nulla di veramente utile, nel qual caso ho una domanda correlata. Supponi di considerare lo stesso scenario, ma invece di iniziare con$M$ palline di ogni colore, abbiamo iniziato solo con, diciamo, $5M/6$palline di ogni colore. Quindi la funzione di densità modificata sarebbe:$$g(x_1,\ldots, x_n) = \frac{\binom{5M/6}{x_1}\cdots\binom{5M/6}{x_n}}{\binom{5Mn/6}{Mn/6}}.$$ Come $M\to\infty$, esiste una relazione significativa tra $f$ e $g$che si può fare? Mi sembra vagamente come$M$ diventa grande le due densità dovrebbero sembrare sempre più simili, ma è possibile che quell'intuizione sia storta.
Risposte
Per il $m^{th}$ palla di colore $n$ permettere $X_{m}^{n}$essere la variabile casuale indicatrice per stabilire se è stata disegnata. Supponiamo di disegnare una frazione$\mu \in (0,1)$ delle palle nella popolazione (es $\mu = 1/6$), poi:
$$\mathbb{E}[X_{m}^{n}] = \mu$$
$$Var(X_{m}^{n}) = \mu(1-\mu) \equiv \sigma^{2}$$
Per ogni $(m,n) \neq (m',n')$:
$$\begin{align} Cov(X^{n}_{m}, X^{n'}_{m'}) &= \mathbb{E}[X_{m}^{n}X_{m'}^{n'}]-\mu^{2} \\ &= -\mu (1-\mu)/(MN-1) \\ &= -\sigma^{2}/(MN-1) \end{align}$$
Fissaggio $N$, per ogni $M$ denota: $$\bar{X}^{n}_{M} = \frac{1}{M}\sum_{m=1}^{M} X_{m}^{n}$$ Che ha le seguenti proprietà: $$\mathbb{E}[\bar{X}^{n}_{M}] = \mu$$
$$\begin{align} Var(\bar{X}^{n}_{M}) &= \frac{1}{M^{2}} \left[ M Var(X_{m}^{n}) + M(M-1)Cov(X_{m}^{n}) \right] \\ &= \frac{1}{M} \left[ Var(X_{m}^{n}) + (M-1)Cov(X_{m}^{n}) \right] \\ &= \frac{1}{M} \left[ \sigma^{2} - (M-1)\sigma^{2}/(MN-1) \right] \\ &= \frac{\sigma^{2}}{M}\left( \frac{M(N-1)}{MN-1} \right) \end{align}$$
Definire $Y^{n}_{M} = \sqrt{M}(\bar{X}^{n}_{M} - \mu)$, quindi dal teorema del limite centrale $Y^{n}_{M}$ converge nella distribuzione a $N(0, \sigma^{2}(N-1)/N)$. (Si noti che il teorema del limite centrale si applica ancora qui sebbene le variabili casuali siano leggermente dipendenti. Citare il teorema 1 di "The Central Limit Theorem For Dependent Random Variables" di Wassily Hoeffding e Herbert Robbins.)
La covarianza per $n \neq n'$ è:
$$Cov(\bar{X}^{n}_{M}, \bar{X}^{n'}_{M}) = Cov(X^{n}_{m}, X^{n'}_{m'}) = -\sigma^{2}/(MN-1)$$
$$\Rightarrow Cov(Y^{n}_{M}, Y^{n'}_{M}) = M\sigma^{2}/(MN-1) \rightarrow -\sigma^{2}/(N-1)$$
Quindi, $(Y^{1}_{M}, \ldots , Y^{N}_{M})$ converge nella distribuzione a una normale multivariata centrata intorno $0$ con una matrice di covarianza che ha $\sigma^{2}(N-1)/N$ sulla diagonale e $-\sigma^{2}/(N-1)$sulla diagonale fuori. (Nota, questa matrice di covarianza ha rango$N-1$.)
(Provare $(Y^{1}_{M}, \ldots , Y^{N}_{M})$ converge effettivamente a una normale multivariata, dovremmo mostrare che qualsiasi combinazione lineare di esse converge a una normale, che segue tramite lo stesso argomento usato per mostrare $Y^{n}_{M}$ converge a una normale.)
Non credo che nel caso di specie esista una distribuzione limitante in senso stretto come $M\to\infty$. Tuttavia, sembra essere il caso che la distribuzione ipergeometrica si avvicini a una distribuzione normale in questo limite, con altezza decrescente, media crescente e deviazione. Più esplicitamente, considera il caso$n=2$, per cui la distribuzione ipergeometrica legge:
$$P(x)=\frac{\binom{m}{x}\binom{M-m}{N-x}}{\binom{M}{N}}$$
e per affrontare il problema particolare a portata di mano $m=\frac{M}{2}~,~N=fM~,~ f< 1/2$. Si noti che se la frazione di campionamento supera il valore critico$1/2$diventa più complicato ottenere una stima semplice usando l'approssimazione di Stirling per il fattoriale, quindi lavorerò con il caso ristretto citato in precedenza. In questo caso è chiaro che$x\in [0,fM]$. Dopo aver collegato l'approssimazione di Stirling$$x!\approx x^xe^{-x}\sqrt{2\pi x}$$
e semplificando otteniamo un'espressione mostruosa per $P(x)$ nel limite $M\to\infty$che per ora ometterò. Il limite di questa espressione come si lascia$M$crescere è, in senso stretto, zero. Tuttavia, si scopre che$\ln P(x=fMt)$ è proporzionale a $M$. Ciò indica il fatto che come$M\to\infty$, da $\ln P<0$ solo punti vicini al massimo di $P$raggiungerà valori diversi da zero. Vediamo che il massimo viene raggiunto$t=1/2$. Con questo, concludiamo dopo la semplificazione che
$$P(x)\approx\sqrt{\frac{2}{\pi f(1-f)M}}\exp\left[-\frac{2}{f(1-f)M}(x-fM/2)^2\right]$$
Ciò significa che la distribuzione si sposta ulteriormente lungo l'asse x come $M\to\infty$ma si accorcia e si amplia anche per mantenere costante la normalizzazione. L'evidenza numerica supporta questo risultato, come mostrato nel grafico sottostante.
