Lo fa $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} e^{-\alpha x}dx$ convergono in modo uniforme?

Aug 21 2020

Lo fa $$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} e^{-\alpha x}dx \hspace{0.1cm}, \alpha \in ]0,\infty[$$ convergono in modo uniforme?

Utilizzando il test di Dirichlet :

  1. $\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx = \pi/2$
  2. $e^{-\alpha x}$ sta diminuendo, limitato e andando a $0$.

Quindi converge in modo uniforme.

Va bene? O converge solo uniformemente in$]k,\infty[$ con $k>0$ ?

Risposte

2 RRL Aug 21 2020 at 02:13

Suggerimento per utilizzare il test di Dirichlet:

abbiamo $\int_0^c \sin x \, dx$ limitato per tutti $c > 0$ e indipendente da $\alpha$ e $\frac{e^{-\alpha x}}{x}$ sta diminuendo monotonicamente in $x$e uniformemente convergente a$0$ come $x \to \infty$ per tutti $\alpha \in [0,\infty)$.