$\mathrm{mod}\:p$Rappresentazione di Galois rispetto alla topologia di Zariski

Question

Permettere$G$sia il gruppo di Galois assoluto di un campo numerico. Può esistere una rappresentazione continua semisemplice$G\to GL_n(\overline{\mathbb{F}_p})$(quest'ultimo ha topologia Zariski) con immagine infinita?

Answer 1

No. Una rapida dimostrazione utilizza l'esistenza della misura di Haar su gruppi topologici compatti come il gruppo di Galois.

Il kernel sarebbe un sottogruppo chiuso del gruppo di Galois con indice infinito, e quindi avrebbe misura Haa$0$. Tuttavia, perché$GL_n (\overline{\mathbb F_p})$è numerabile, numerabile molte traduzioni coprono il gruppo di Galois, quindi il gruppo di Galois avrebbe misura$0$, contraddicendo il fatto che ha misura$1$.

Sono sicuro che anche una prova più diretta che eviti la misura di Haar può funzionare.