Matrici semidefinite positive e positive

Aug 19 2020

Permettere $H_n$ essere un $(n+1)\times (n+1)$ matrice simmetrica reale, e lascia $D_0,D_1,\dots, D_n$ essere i principali minori minori di $H_n$.

Quello che so è:

  1. Se $H_n$ è definita positiva (risp. semi definita positiva), quindi $D_n> 0$ (risp. $D_n\geq 0$).
  2. Se $D_k>0$ per tutti $0\leq k\leq n$, poi $H_n$è definita positiva (secondo il criterio di Sylvester ).

Quello che voglio sapere è, supponendo che $H_n$ è semi-definito positivo,

$\quad$Q1. Se$D_n>0$, poi $H_n$ è definito positivo.

$\quad$Q2. Se$H_n$ non è definito positivo, quindi $D_n=0$.

Per Q1: credo che sia finito per induzione $n$. Per$n=0$: Se $D_0>0$, poi $H_0$è definita positiva, per secondo punto. Per$n=1$: Se $D_1>0$, Come fai a saperlo $D_0\neq 0$, in modo che possiamo usare di nuovo il secondo punto?

Per Q2: lo sappiamo $H_n$ è semi-definito positivo per ipotesi, quindi $D_n\geq 0$dal primo punto. Ma da allora$H_n$ non è un semi-definito positivo, non possiamo avere $D_n>0$, così $D_n=0$. È così?

Risposte

1 BenGrossmann Aug 21 2020 at 14:51

Una matrice semidefinita positiva è definita positiva se e solo se è invertibile (ha determinante diverso da zero).

Ciò è normalmente considerato come conseguenza di quanto segue: una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se i suoi autovalori sono reali e positiva semidefinita se e solo se i suoi autovalori non sono negativi. Da lì, notiamo che il determinante di una matrice è il prodotto dei suoi autovalori.

Per una dimostrazione più diretta, è sufficiente notare che per una matrice semidefinita positiva (simmetrica) $H$, noi abbiamo $x^THx = 0 \iff Hx = 0$. Nel mio post qui , lo provo in diversi modi. Da lì, nota che una matrice ha zero determinante se e solo se il suo spazio nullo (kernel AKA) non è banale.