Metodo del calore (Crane et Al) Come ti scegliamo?
Il metodo del calore è un documento molto interessante per il calcolo della distanza:
https://www.cs.cmu.edu/~kmcrane/Projects/HeatMethod/paperCACM.pdf
L'idea alla base della carta è che il calore viaggia lungo la superficie di un oggetto essenzialmente in modo geodetico. E così il tempo impiegato dal calore per viaggiare da un punto caldo a qualsiasi punto su una superficie è inconciliabilmente correlato con la distanza geodetica.
L'articolo considera dapprima il caso analitico generale e poi suggerisce approcci di discretizzazione. Ciò di cui sono molto confuso è la menzione della funzione del flusso di calore$u$attraverso la carta. Consideriamo ad esempio questa equazione:
Questo è l'operatore laplaciano discreto applicato a$u$o$\Delta u$. Ci sono molte altre sezioni nel documento che menzionano$u$. Dalla mia lettura,$u$sembra essere una funzione adatta che approssima il flusso di calore sulla superficie di una varietà?
Non vedo davvero un'equazione della forma$u = \text{expression}$né vedo descrizioni delle sue proprietà né suggerimenti per un bene$u$funzione. Cos'è$u$? Dove ha fatto$u$vieni da? Dove ha fatto$u$andare? Dove ha fatto$u$vieni da? cotan, io, o?
Risposte
Dalla mia lettura, u sembra essere una funzione adatta che approssima il flusso di calore sulla superficie di un collettore?
$u$è la funzione che descrive come si comporta/si evolve la tua quantità in un determinato campo. Nella carta, la quantità è la temperatura o il flusso di calore, immagino. Tuttavia, la maggior parte delle volte non esiste una soluzione/formula analitica per$u$. È qui che entrano in gioco metodi come gli elementi finiti (FEM). Discretizzando il tuo campo, puoi approssimare a tratti la tua funzione$u$.
Nel tuo caso, useresti la tua mesh, che è già una discretizzazione della tua superficie. I tuoi elementi sono i triangoli e devi definire come le quantità nodali sono interpolate all'interno di ogni triangolo. --- Qui, l'interpolazione lineare è probabilmente la strada da percorrere. In caso contrario, è necessario ricreare la mesh della geometria o introdurre nodi aggiuntivi per approssimazioni di ordine superiore.
Poi devi assegnare ad ogni Nodo/Vertice un valore iniziale$u_0$come scritto nella risposta di gilgamec. Successivamente, costruisci e risolvi il tuo sistema di elementi finiti e ottieni la distribuzione nodale di$u$che risolve effettivamente la tua equazione o sistema di equazioni. Più fine diventa la tua maglia, migliore è la soluzione. Anche le interpolazioni di ordine superiore aiuteranno con precisione.
Così$u$o i suoi valori nodali sono ciò che stai effettivamente cercando, come ha detto lightxbulb nel suo commento. È la tua quantità sconosciuta.
Se questo non aiuta, potresti voler leggere della letteratura sul metodo degli elementi finiti. Non posso dire quanto siano utili i seguenti collegamenti, ma una breve occhiata sembrava promettente. Vedrai, che usano$u$dappertutto. Quindi spero che uno di loro ti aiuti:
- Una dolce introduzione al metodo degli elementi finiti
- PE281 Metodo degli elementi finiti Appunti del corso
- Introduzione al metodo degli elementi finiti
- analisi agli elementi finiti a mano
Avevo anche un link a un buon tutorial online simile all'ultimo link che ho fornito che mi ha aiutato molto a capire i fondamenti. Se trovo il link, lo aggiungerò alla mia risposta.
Trovato il link a cui mi riferivo. Purtroppo è in tedesco:
- FEM Handrechnung
Sì, il campo$u$è in questo caso una diffusione del calore approssimata attraverso la superficie. Si trova partendo dal "set iniziale" di vertici; questi saranno la sorgente della diffusione, e finiranno come minimi locali nel campo delle distanze. Una prima distribuzione$u_0$è impostato, con valore 1 sull'insieme iniziale e 0 ovunque. (Questo è descritto a pagina 92 del documento che hai collegato, immediatamente sotto Algoritmo 1.)
Il primo passaggio dell'algoritmo consiste nell'eseguire un singolo passaggio dell'equazione del calore risolvendo l'equazione lineare$(I - t\nabla)u = u_0$(equazione 3 nel documento). Il campo$u$ottieni lì è la diffusione del calore approssimata che elabori ulteriormente per ottenere il campo di distanza.