Modificare la teoria dell'assorbitore di Feynman-Wheeler per lavorare con potenziali arbitrari?

Question

Sto cercando di considerare le dinamiche multi-corpo relativistiche nella relatività speciale. Nella meccanica classica, è facile scrivere un semplice file$n$-sistema corporeo con potenziale arbitrario $V$:

\ begin {equation} m \ ddot {x} _ i = \ sum_ j - \ nabla_ {x_ i} V (| x_ i-x_ j |). \ tag {1} \ label {1} ​​\ end {equation} Nella relatività ristretta, si è tentati di sostituirlo semplicemente con il potenziale ritardato, dove$x_ j$ viene valutato nel momento in cui $c |\Delta t|=|x_ i-x_ j|$. Tuttavia questo finisce in soluzioni che esplodono nel tempo . Voglio trovare un'azione per un sistema a 2 corpi che si riduce all'equazione \ ref {1} nel limite$v\ll c$, ma che ha anche leggi di conservazione corrette e fisicamente significative.

Poiché tutto questo rientra nell'ambito della reazione alle radiazioni, immagino che un punto di partenza sicuro sia considerare le cose da un sistema di tipo Lagrangiano Feynman-Wheeler ( elettrodinamica classica in termini di azione interparticellare diretta ), poiché le sue simmetrie daranno abbastanza direttamente leggi di conservazione ( anche se con una certa velocità di leggeri ritardi). Etichetto le due particelle$a$ e $b$e sto lavorando con $c=1$, spese unitarie e masse, firma $(- + + +)$, e $t$un parametro arbitrario che etichetta le linee del mondo. Quindi l'azione è:

$$A=-\sum_{i=a,b}\int dt \sqrt{-\dot x_i^\mu \dot x_{i\mu}} - \iint \delta((x_a-x_b)^2) \dot x_a^\mu \dot x_{b\mu}dt_1 dt_2 \label{2}\tag{2}$$

Nota che $dt \sqrt{-\dot x_i^\mu \dot x_{i\mu}}$ dovrebbe davvero essere considerato come $\sqrt{-dx_i^\mu dx_{i\mu}}$e che il doppio integrale dovrebbe davvero essere considerato come $dx_a^\mu dx_{b\mu}$. Quindi siamo davvero invarianti di riparametrizzazione e ci stiamo davvero integrando rispetto alle linee del mondo. (Nota anche: "$x^2$"nella funzione delta significa $x^\mu x_\mu$.)

È facile vedere che questo dà la forza di Coulomb: particella fissa $b$ all'origine in modo che $x_b^\mu(t)=(t,\vec{0})$. Quindi per$x_a^\mu(t)=(t,\vec{x}_a(t))$, noi troviamo $\dot x_a^\mu \dot x_{b\mu}=1$. Applicare l'identità della funzione delta$\delta(g(x))=\sum_{g(x_0)=0} \delta(x-x_0)/|g'(x_0)|$ e integrare rispetto a $t_2$ ottenere

$$\iint \delta((x_a-x_b)^2) \dot x_a^\mu \dot x_{b\mu}dt_1 dt_2 =\int dt_1 \sum_{t_2=t_a,t_r}\frac{1}{|2(x_a^\mu-x_b^\mu) \dot x_{b\mu}|}=\int dt_1 \sum_{t_2=t_a,t_r}\frac{1}{|2\Delta t|}.\label{3}\tag{3}$$

$t_a$ e $t_r$ sono i tempi avanzati e ritardati con $|\Delta t|=|\Delta x|$, quindi sommando i due otteniamo l'azione di una singola particella in un potenziale di Coulomb $$\int dt_1 \frac{1}{|\Delta x|}$$

Quindi il termine $|(x_a^\mu-x_b^\mu) \dot x_{b\mu}|$ trasformato in una differenza vettoriale $|\Delta \vec{x}|$. Questo porta all'idea: basta moltiplicare il termine di interazione per termini del genere. Il termine dell'azione corretto potrebbe essere simile a questo:

$$\iint F(|(x_a^\mu-x_b^\mu) \dot x_{b\mu} /\sqrt{- \dot x_b^\nu\dot x_{b\nu}}|) \delta((x_a-x_b)^2) \dot x_a^\mu \dot x_{b\mu}dt_1 dt_2. \label{4}\tag{4}$$

Se $F(x)=xV(x)$ e particella $b$ è fissato all'origine, questo fornisce il limite corretto, ed è covariante di Lorentz e invariante di riparametrizzazione (questo è ciò che il $\sqrt{-\ldots}$ il termine sta per), ma favorisce anche $x_a$ al di sopra di $x_b$! Simmetrizzazione rispetto a$a$ e $b$ sembra anche OK, perché per $|\frac{d}{dt} \vec{x}_a| \ll 1$ dovremmo avere $\dot x_{a\mu} /\sqrt{- \dot x_a^\nu\dot x_{a\nu}}\approx (1,\vec{0})$, ma sembra che dovrebbe esserci un percorso più semplice da percorrere.

Qualcuno conosce un modo per farlo o ha idee migliori su come modificare il termine di interazione?

La covarianza di Lorentz e l'invarianza di riparametrizzazione pongono alcune pesanti restrizioni all'azione, quindi forse non è possibile ottenere un'azione molto elegante con le proprietà desiderate.

Answer 1

Dai un'occhiata al seguente documento:

• Louis-Martinez, DJ (2006). Interazioni di azione a distanza non istantanee relativistiche . Physics Letters B, 632 (5-6), 733-739, doi: 10.1016 / j.physletb.2005.11.029 , arXiv: hep-th / 0510193 .

Dall'azione che generalizza l'interazione interparticellare diretta di Feynman-Wheeler imponendo condizioni di invarianza di Poincaré e requisiti aggiuntivi che i parametri lungo le linee del mondo fossero i tempi propri delle particelle e che la massa debba essere una quantità scalare, l'autore è stato in grado di dimostrare che l'unica forma di potenziale consentita da tali condizioni è la combinazione del potenziale di Coulomb e un potenziale in aumento lineare: $V(r)=\alpha r + \beta/r$.