Mostra che un gruppo di ordine $pq$ ha un sottogruppo di ordine $p$ e $q$ senza usare il teorema di sylow e di cauchy

Aug 16 2020

Se $o(G)$ è $pq$, $p>q$ sono numeri primi, provalo $G$ ha un sottogruppo di ordine $p$ e un sottogruppo di ordine $q$.

[Questa domanda è di Herstein e viene prima del teorema di Sylow e di Cauchy. Quindi mi aspetto una risposta senza utilizzare nessuno di questi]

Ecco cosa ho ottenuto finora:

Se $G$ è ciclico quindi abbiamo fatto altrimenti, possiamo presumere che non sia ciclico il che significa che ogni elemento non identitario deve essere in ordine $p$ o $q$.

Astuccio $(1)$ se esiste $a\in G$ tale che $o(a) = p$ e se esiste anche un elemento di ordine $q$allora abbiamo finito. Quindi possiamo presumere che ogni elemento non identitario sia in ordine$p$. Ora scegli$b\in G$ tale che $b\notin \langle a \rangle$ poi $o(b) = p$ e $\langle a \rangle\cap\langle b \rangle =(e)$

Quindi abbiamo $\langle a\rangle \langle b\rangle\subset G$ ma $o(\langle a \rangle \langle b \rangle) = \dfrac {o(\langle a \rangle)o(\langle b \rangle)}{o(\langle a\rangle \cap \langle b\rangle)} = p^2$ ma $p^2 > pq$ [da $p>q$] quindi abbiamo una contraddizione.

Dammi un suggerimento per il secondo caso e correggimi se il mio argomento per il primo caso è sbagliato

Risposte

4 UmeshShankar Aug 16 2020 at 20:40

Supponiamo che ogni elemento non identitario generi un gruppo di ordine ciclico $q$, il più piccolo dei numeri primi.

La coniugazione è una relazione di equivalenza su un gruppo. Quindi, dovremmo essere in grado di suddividere il gruppo nelle sue classi di equivalenza. La dimensione della classe di equivalenza a cui appartiene un elemento è l'indice del centralizzatore dell'elemento. Perché? Fix$x\in G$. Crea un omomorfismo da$G \rightarrow G$ inviando $g \rightarrow xgx^{-1}$. La dimensione della classe di equivalenza è l'ordine dell'immagine. Qual è il nucleo di questa mappa?

Se il centralizzatore è in ordine $p$ o $pq$, abbiamo chiuso. Supponiamo che ogni centralizzatore sia in ordine$q$, l'indice del centralizzatore è $pq/q=p$. Ogni elemento dovrebbe appartenere a una classe di equivalenza di dimensioni$p$, ad eccezione dell'elemento identità.

Un semplice calcolo della cardinalità lo mostra $pq= kp+1$, dove rappresenta il numero di classi di equivalenza. Tuttavia, questo è assurdo e quindi non tutti i sottogruppi dell'ordine$q$.