Mostrandolo per uno spazio metrico$(X,d)$,$|d(x,z) - d(y,z)| \leq d(x,y)$.

Question

Attualmente sto elaborando una dimostrazione fornita nel mio libro di testo (per un corso sugli spazi metrici) per la seguente domanda:

Se$(X,d)$è uno spazio metrico, dimostralo$|d(x,z) - d(y,z)| \leq d(x,y)$ $\forall x,y,z \in X$.

Prova :

$(1)$dalla disuguaglianza triangolare abbiamo questo$d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$e quindi

$(2)$ $d(x,z) - d(y,z) \leq d(x,y)$.

$(3)$Di nuovo, dalla disuguaglianza triangolare:$d(y,z) \leq d(y,x) + d(x,z)$, e quindi per simmetria:

$(4)$ $-(d(x,z) - d(y,z)) \leq d(y,x) = d(x,y)$.

$(5)$ combinando $(2)$e$(4)$noi abbiamo$|d(x,z) - d(y,z)| \leq d(x,y)$.

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Le mie domande :

$i)$In$(1)$, come facciamo a sapere dalla disuguaglianza triangolare che$d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$? un simile per$(3)$, Come lo sappiamo$d(y,z) \leq d(y,x) + d(x,z)$?

$ii)$in$(5)$, cosa intende l'autore per "combinare" le disuguaglianze in$(2)$e$(4)$dare il risultato finale? Sento che questo è un po 'vago e non riesco a capire cosa intenda per "combinare".

Il motivo delle mie domande è che voglio essere in grado di scrivere una prova completa per questo, ma volevo chiarire alcune cose.

Answer 1

i) La definizione della disuguaglianza triangolare è quella per tutti$x, y, z$, noi abbiamo$d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$. Per definizione di metrica, la disuguaglianza triangolare deve essere vera.

ii) Abbiamo in generale$|a| = \sup(a, -a)$. In altre parole,$|a|$è il valore più piccolo$w$st$w \geq a$e$w \geq -a$. Permettere$a = d(x, z) - d(y, x)$. Allora lo abbiamo dimostrato$d(x, y) \geq a$e$d(x, y) \geq -a$. Perciò,$d(x, y) \geq |a|$.