Non capisco come funzioni questo PDF congiunto

Aug 16 2020

Questa domanda viene dal MIT 6.041 OCW.

Non capisco la parte b di questa domanda, in particolare come$f_X(x)$e$f_{Y|X}(y|0.5)$sono calcolati.

Per quanto ho capito, ottieni il PDF marginale integrando il PDF congiunto, ad es$f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y) dy$.

Questo porta già a molte confusioni:

  1. Ce ne sono, come da schema, due$f_{X,Y}(x,y)$:$1/2$e$3/2$. Quindi integrando questi due otteniamo$\frac{1}{2}y$e$\frac{3}{2}y$rispettivamente - quindi quale dovrebbe essere$f_X(x)$? Ed è$f_X(x)$in termini di$y$anche legittimo?

  2. La soluzione afferma$f_X(x)$in termini di$x$, ma se integriamo$f_{X,Y}(x,y)$in termini di$y$, come potremmo ottenere$x$?

Soluzione per$f_{Y|X}(y|0.5)$è ancora più strano; il singolo punto non ottiene zero PDF perché un punto non ha area? Allora come è possibile parlarne$X=0.5$in primo luogo, figuriamoci lasciare che un evento a probabilità zero sia il denominatore?

Risposte

3 BrianTung Aug 19 2020 at 12:24

Gli integrali in questione sono integrali definiti , non antiderivati. Per esempio,

$$ f_X(x) = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy $$

Dato che

$$ f_{X, Y}(x, y) = \begin{cases} \frac12 & 0 < x < 1, 0 < y < x \\ \frac32 & 1 < x < 2, 0 < y < 2-x \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

otteniamo, per$0 < x < 1$,

\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^x \frac{dy}{2} \\ & = \left. \frac{y}{2} \right]_{y=0}^x \\ & = \frac{x}{2} \end{align}

e per$1 < x < 2$,

\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^{2-x} \frac{3 \, dy}{2} \\ & = \left. \frac{3y}{2} \right]_{y=0}^{2-x} \\ & = 3-\frac{3x}{2} \end{align}

Per gli altri, abbiamo

$$ f_{Y \mid X}(y \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(0.5, y)} {\int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(0.5, y) \, dy} $$

e

$$ f_{X \mid Y}(x \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(x, 0.5)} {\int_{x=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, 0.5) \, dx} $$

Si noti che la valutazione dell'ultimo richiede l'integrazione di una funzione costante a tratti.