Numero di modi in cui 3 palline rosse identiche e 3 palline bianche identiche possono essere distribuite tra 3 caselle distinte, nessuna casella è vuota?

Aug 18 2020

Come accennato nel titolo, dobbiamo calcolare il numero di modi in cui 3 palline rosse identiche e 3 palline bianche identiche possono essere distribuite tra 3 caselle distinte in modo che nessuna casella sia vuota.

Sono state poste alcune domande simili, ma nessuna che risponde completamente a questa particolare domanda (per quanto ne so).

Ho provato ad avvicinarmi a questo facendo alcuni casi, che in realtà hanno finito per funzionare. Ma non sono stato in grado di creare un approccio generale per, diciamo, n oggetti identici di un tipo em oggetti identici di un altro tipo in p riquadri diversi.

Risposte

2 ChristianBlatter Aug 18 2020 at 17:12

All'inizio abbiamo $6$palline bianche. Possiamo avere$\{4,1,1\}$, $\{3,2,1\}$, o $\{2,2,2\}$ palline nelle scatole, con $3$, $6$, $1$ordinamenti diversi nei tre casi. Ora dipingiamo tre delle sei palline di rosso. Nel$\{4,1,1\}$ possiamo dipingere tre dei $4$ rosso ($1$ modo), due dei $4$ rosso ($2$ modi) o uno dei $4$ rosso ($1$modo); fa$4$modi. Nel$\{3,2,1\}$ possiamo dipingere tutti e tre i file $3$ rosso ($1$ modo), due dei tre rossi ($2$ modi), uno dei $3$ rosso ($2$ modi) o nessuno dei $3$ rosso ($1$modo); fa$6$modi. Nel$\{2,2,2\}$ caso che possiamo fare $2$ e $1$ palline rosse in scatole diverse ($6$ modi) o una pallina rossa in ogni casella ($1$modo); fa$7$ modi.

In tutto ci sono $$3\cdot 4+6\cdot 6+1\cdot 7=55$$ diverse distribuzioni ammissibili.

1 ȘtefanDumitrescu Aug 18 2020 at 13:47

Caso A. 4 palline nella prima scatola.

  1. Nella scatola possiamo trovare 3 palline rosse e 1 bianca o 3 palline bianche e 1 rossa. Ciò significa esattamente un arrangiamento per la seconda e la terza scatola. Subtotale: 2 permutazioni
  2. Nella scatola possiamo trovare 2 palline rosse e 2 palline bianche. Ciò significa due possibili arrangiamenti per la seconda e la terza scatola. Subtotale: 2 permutazioni
    Totale: 4 permutazioni

Caso B. 3 palline nella prima scatola.

  1. 3 rossi o 3 bianchi. Ciò significa 2 arrangiamenti nelle altre caselle. Subtotale: 4 permutazioni
  2. 2 rossi + 1 bianco o 1 rosso + 2 bianchi. Ciò significa 4 possibili arrangiamenti nelle altre caselle. Subtotale: 8 permutazioni
    Totale: 12 permutazioni

Caso C. 2 palline nella prima scatola.

  1. 2 rossi o 2 bianchi. Ciò significa 6 possibili arrangiamenti nelle altre caselle. Subtotale: 12 permutazioni
  2. 1 rosso e 1 bianco. Ciò significa 7 possibili arrangiamenti nelle altre caselle. Subtotale: 7 permutazioni
    Totale: 19 permutazioni

Caso D. 1 pallina nella prima scatola. Solo un modo: 1 rosso o 1 bianco. Ciò significa 10 possibili arrangiamenti nelle altre caselle.
Totale: 20 permutazioni

Conclusione: 4 + 12 + 19 + 20 = 55possibili permutazioni.