Ogni funzione olomorfa su una varietà complessa compatta è localmente costante？

Question

Sappiamo che se $X$ è una varietà complessa connessa compatta, quindi ogni funzione olomorfa attiva $X$è costante. Ora, suppongo che$X$non è necessariamente connesso, quindi possiamo scegliere un componente connesso. Sappiamo che il componente connesso è un sottoinsieme chiuso e anche ogni sottoinsieme chiuso di un insieme compatto è compatto. Quindi anche la componente connessa è compatta, quindi possiamo dedurre che ogni funzione olomorfa sulla componente connessa è costante. Quindi possiamo dedurre che ogni funzione olomorfa attiva$X$ è localmente costante.

Penso che questo possa non essere corretto, ma non riesco a trovare dov'è il problema nella mia dimostrazione di cui sopra.

Answer 1

Questo è corretto. Tuttavia, quando le persone dicono "collettore compatto", quasi sempre intendono collettore compatto collegato. Piuttosto, di solito non c'è nulla da guadagnare avendo a che fare con varietà compatte non connesse, poiché tanto vale guardare ogni componente connesso.

(Per le varietà non compatte, questo è potenzialmente più complicato, perché abbiamo cose come $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ che è un'unione disgiunta di due varietà, ma sono una sorta di "contatto" e in un certo senso intrinsecamente diversi da $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$, per esempio.)