Orientamento di fissaggio del collettore liscio collegato in $\mathbb{R}^n$ da un unico grafico
Sto studiando su Zorich, Analisi matematica II, 1a ed. pag. 174-175. Dopo aver correttamente spiegato come vengono definiti gli orientamenti (classi di equivalenza) per superfici k-dimensionali lisce in$\mathbb {R} ^ n$ descrivibile con un'unica mappa, si passa al caso più generale definendo i significati di:
- grafici coerenti,
- atlanti orientanti,
- classi di equivalenza per l'orientamento degli atlanti (possibili orientamenti della superficie).
Dopo aver fatto ciò, afferma senza prove che una superficie k-dimensionale liscia collegata può avere solo due possibili orientamenti. Da questa affermazione si deduce subito che per fissare un orientamento su una superficie di questo tipo non è necessario esibire un intero atlante di carte coerenti, ma è sufficiente esibire un'unica carta.
Stavo cercando di dimostrare il motivo, ma non posso. Ho assunto, per assurdità, di avere due atlanti di diverso orientamento, fatti di carte coerenti a coppie, contenenti una carta comune$ \varphi_1 $:
$$A_1=\{\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_m,...\}$$ $$A_2=\{\varphi_1,\varphi'_2,...,\varphi'_m,...\}$$
ma da qui non riesco ad arrivare a nessuna assurdità. Qualcuno mi può aiutare per favore?
Risposte
Userò la terminologia "collettore" invece di "superficie", perché "superficie" di solito significa bidimensionale.
Fammi usare la notazione $M$ per il collettore in questione.
Devi in qualche modo utilizzare l'ipotesi che il collettore $M$è connesso. Poiché le varietà sono connesse al percorso localmente, puoi usare il teorema che uno spazio connesso, localmente connesso al percorso è connesso al percorso.
Considera il grafico comune $\varphi_1 : U_1 \to \mathbb R^k$ nel $A_1 \cap A_2$e fissa un punto base $p \in U_1$.
Ora proverò direttamente che qualsiasi grafico in formato $A_1$ e qualsiasi grafico in $A_2$ sono coerenti in qualsiasi punto della loro sovrapposizione.
Considera qualsiasi $x \in M$e scegli i grafici $\phi_I : U_I \to \mathbb R^k$ nel $A_1$ e $\varphi'_J : U'_J \to \mathbb R^k$ nel $A_2$, tale che $x \in U_I \cap U'_J$. Dobbiamo dimostrarlo$\varphi_I$ e $\varphi'_J$ sono coerenti al punto $x$.
Utilizzo della connettività del percorso del collettore $M$, scegli un percorso continuo $\gamma : [0,1]$ tale che $\gamma(0)=p$ e $\gamma(1)=x$. Dal momento che i set$\{U_i \cap U'_j\}_{i,j}$ copertina $M$, le loro immagini inverse $\{\gamma^{-1}(U_i \cap U'_j)\}_{i,j}$ copertina $[0,1]$. Applicando il Lebesgue Number Lemma, possiamo scegliere un numero intero$N \ge 1$e si decompongono $[0,1]$ in sottointervalli $I_m = [\frac{m-1}{N},\frac{m}{N}]$, $m=1,\ldots,N$, così che $\gamma(I_m)$ è un sottoinsieme di una delle intersezioni $U_{i(m)} \cap U'_{j(m)}$.
Lo sappiamo $\varphi_{i(1)}$ e $\varphi'_{j(1)}$ sono entrambi coerenti tra loro in $\gamma(0)=p$, perché entrambi sono coerenti con $\varphi_1$. Considera il percorso$\gamma \mid I_1$ e lascia $t \in I_1 = [0,1/N]$ varia da $0$ per $1/N$. Come$t$ varia, la determinante della derivata della mappa di sovrapposizione dei due grafici $\varphi_{i(1)}$ e $\varphi'_{j(1)}$ varia continuamente, è diverso da zero ovunque ed è positivo a $t=0$, quindi è positivo a $t=1/N$. Questo lo dimostra$\varphi_{i(1)}$ e $\varphi'_{j(1)}$ sono coerenti a $\gamma(1/N)$.
Ora facciamo una prova di induzione: assumendo che per induzione $\varphi_{i(m)}$ e $\varphi'_{j(m)}$ sono coerenti a $\gamma(m/N)$, lo dimostriamo $\varphi_{i(m+1)}$ e $\varphi'_{j(m+1)}$ sono coerenti a $\gamma((m+1)/N)$. Da$\varphi_{i(m)}$ e $\varphi_{i(m+1)}$ sono coerenti a $\gamma(m/N)$e da allora $\varphi'_{j(m)}$ e $\varphi'_{j(m+1)}$ sono coerenti a $\gamma(m/N)$, ne consegue che $\varphi_{i(m+1)}$ e $\varphi'_{j(m+1)}$ sono coerenti a $\gamma(m/N)$. Ora la dimostrazione prosegue come nel paragrafo precedente, utilizzando la continuità della determinante della derivata della mappa di sovrapposizione dei due grafici$\varphi_{i(m+1)}$ e $\varphi'_{j(m+1)}$ a $\gamma(t)$, come $t \in I_{m+1}$ varia da $m/N$ per $(m+1)/N$e la coerenza di quei grafici in $\gamma(m/N)$, per dedurre coerenza a $\gamma((m+1)/N)$. Questo completa la fase di induzione.
Per completare la dimostrazione, lo abbiamo dimostrato $\varphi_{i(N)}$ e $\varphi'_{j(N)}$ sono coerenti a $\gamma(N/N)=x$. Lo sappiamo anche$\varphi_I$ è coerente con $\varphi_{i(N)}$, e $\varphi'_J$ è coerente con $\varphi'_{j(N)}$ a $x$. Perciò,$\varphi_I$ e $\varphi'_J$ sono coerenti a $x$.
Permettere $M$ essere il tuo $k$-superficie dimensionale o inclinata rispetto alla carta $\{ \varphi_i\}_i$, $\varphi_i : \mathbb R^k\rightarrow U_i \subset_{open } M $. $\exists \ \omega\in \Omega^k(M)$ tale che $\omega$non svanisce in ogni punto. Questo è possibile da allora$M$ è orientabile. $\varphi_i^*\omega=g_i \lambda$ dove $\lambda=dx_1\wedge dx_2\wedge \dots dx_n$ e $g_i:\mathbb R^k \rightarrow \mathbb R$è una funzione liscia che non scompare. Poiché i grafici sono coerenti, entrambi$g_i$sono positive o tutte negative. Supponiamo che tutti i file$g_i$Sono positivi.
Ora hai i grafici $\{ \varphi_1, \varphi_j'\}_j $ Come prima di arrivare $\varphi^*_1 \omega =g_1\lambda$ e ${\varphi'}_j^*\omega=h_j \lambda$. Con la stessa logica di cui sopra, otteniamo entrambi$\{g_1, h_j \}_j$sono tutte funzioni positive o tutte negative. Ma da allora$g_1$ è positivo, otteniamo tutto $h_j$Sono positivi. In questo modo ottieni lo stesso orientamento.