Per $\triangle ABC$, dimostralo $ac\cos B+ab\cos C-bc\cos A-a^2 \le \frac{c^2}{8\cos^2(90^\circ-C)}$

Question

Triangolo $\triangle ABC$ ha lati $a$, $b$, e $c$e circumradius $R$. Prova che$$ac \cos B + ab \cos C - bc \cos A - a^2 \le \frac{c^2}{8\cos^2(90^\circ - C)}$$ Quando si verifica l'uguaglianza?

Mi sono imbattuto in questa domanda in un forum diverso e ho pensato che fosse interessante. Ho fatto un po 'di progresso ma non molto: sono cambiato$R^2$alla frazione della disuguaglianza. Penso che ci sia probabilmente un altro uso della Legge dei Seni o della Legge dei Coseni ma non riesco a trovarne uno.

Modifica: molte persone hanno domande sul fatto che il problema sia corretto; ecco il problema originale:

Triangolo $\triangle ABC$ ha lati $a$, $b$, e $c$e circumradius $R$. Prova che$b^2 + c^2 - a^2 \ge -R^2$ Quando si verifica l'uguaglianza?

Answer 1

Id est, per la legge dei coseni dobbiamo dimostrare che: $$\frac{a^2+c^2-b^2}{2}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2}-\frac{b^2+c^2-a^2}{2}-a^2\leq\frac{c^2}{8\left(\frac{2S}{ab}\right)^2},$$ dove $S=\frac{1}{4}\sqrt{\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2-a^4)}$.

Quindi, dobbiamo dimostrarlo $$b^2+c^2-a^2+\frac{a^2b^2c^2}{\sum\limits_{cyc}(2a^2b^2-a^4)}\geq0.$$ Adesso molla $a=y+z$, $b=x+z$ e $c=x+y$.

Quindi, $x$, $y$ e $z$ sono positivi e dobbiamo dimostrare che: $$2(x^2+xy+xz-yz)+\frac{\prod\limits_{cyc}(x+y)^2}{16xyz(x+y+z)}$$ o $$(y^2+34yz+z^2)x^4+2(y^3+35yz+35y^2z^2+z^4)x^3+$$ $$+(y^4+38y^3z+42y^2z^2+38yz^3+z^4)x^2+$$ $$+2yz(y^3-13y^2z-13yz^2+z^3)x+y^2z^2(y+z)^2\geq0.$$ Adesso molla $x^4=t\cdot\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}.$

Quindi, da allora $$y^2+34yz+z^2\geq36\sqrt[3]{\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}},$$ $$2(y^3+35y^2z+35yz^2+z^3)\geq144\sqrt{\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}},$$ $$y^4+38y^3z+42y^2z^2+38yz^3+z^4\geq120\sqrt[3]{\left(\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}\right)^2},$$ $$2yz(y^3-13y^2z-13yz^2+z^3)\geq-48\sqrt[6]{\left(\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12}\right)^5}$$ e $$y^2z^2(y+z)^2\geq4\cdot\frac{y^2z^2(y^2+10yz+z^2)}{12},$$ è sufficiente dimostrare che: $$36t^4+144t^3+120t^2-48t+4\geq0$$ o $$(3t^2+6t-1)^2\geq0$$ e abbiamo finito!

L'uguaglianza si verifica per $t=\frac{2}{\sqrt3}-1$ e, ad esempio, per $y=z=1$, che dà $x=\frac{2}{\sqrt3}-1$ e abbiamo un triangolo con angoli misurati $30^{\circ}$, $30^{\circ}$ e $120^{\circ}.$

Answer 2

Risposta alla seconda domanda (uguaglianza).

Triangolo $ABC$ ha lati $a$, $b$, e $c$, angoli corrispondenti $\alpha,\beta,\gamma$, semiperimetro $\rho$, inradius $r$ e circumradius $R$. Prova che\begin{align} R^2-a^2+b^2+c^2\ge0\tag{1}\label{1}. \end{align} Quando si verifica l'uguaglianza?

Dividendo \ eqref {1} per $R^2$, noi abbiamo

\begin{align} 1-4\sin^2\alpha+4\sin^2\beta+4\sin^2\gamma&\ge0 \tag{2}\label{2} . \end{align}

È facile verificare che \ eqref {2} diventi un'uguaglianza per $\alpha=120^\circ,\beta=\gamma=30^\circ$. In altre parole, \ eqref {1} diventa un'uguaglianza per un triangolo isoscele con$\alpha=120^\circ$.