Per un numero intero positivo $n\geq 2$ con divisori $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$, prova che $d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k<n^2$

Aug 18 2020

IMO 2002 P4 Let $n\geq 2$ essere un numero intero positivo con divisori $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$. Prova che$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ è sempre minore di $n^2$e determinare quando è un divisore di $n^2$

Sto provando questa domanda ma sono a corto di idee, qualcuno potrebbe dare un piccolo suggerimento o un suggerimento? Per favore, senza darmi la soluzione.

Sto cercando di utilizzare il fatto che il prodotto di $d_i$*$d_{i+1}$ è un divisore di $n^2$ (e sono tutti diversi) e magari prova a usare la formula per la somma dei divisori per vedere se questa somma specifica è inferiore a $n^2$

Risposte

4 ErickWong Aug 18 2020 at 18:04

Suggerimento 1: quanto può essere grande $d_{k-1}$ essere in funzione di $n$? Che dire$d_{k-2}$?

Suggerimento 2: Let $p$ essere il più piccolo fattore primo di $n$. Cosa puoi dire in merito$d_{k-1}$ in termini di $n,p$? Qual è il più grande (proprio) divisore di$n^2$?

4 ShubhrajitBhattacharya Aug 18 2020 at 18:15

Da $d$ è un divisore di $n$ se e solo se $n/d$ è, abbiamo $$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k=\left(\frac{n^2}{d_1d_2}+\frac{n^2}{d_2d_3}+\cdots+\frac{n^2}{d_{k-1}d_k}\right)\leq n^2\sum_{j=1}^{k-1}\left(\frac{1}{d_j}-\frac{1}{d_{j+1}}\right)<\frac{n^2}{d_1}=n^2$$ $$\tag*{$\ left [\ text {da $\frac{1}{d_jd_{j+1}}\leq\left(\frac{d_{j+1}-d_j}{d_jd_{j+1}}\right)=\left(\frac{1}{d_j}-\frac{1}{d_{j+1}}\right)$}\giusto]$}$$

Per la seconda parte, lascia $n$ essere composito e $p$ essere il più piccolo fattore primo di $n$. Poi abbiamo$$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k>d_{k-1}d_k=\frac{n^2}{p}$$ Ora se $N=d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ è un divisore di $n$ allora dobbiamo avere $\frac{n^2}{N}\mid n^2$. Ma$p>\frac{n^2}{N}$ è una contraddizione da allora $p$ è il più piccolo primo divisore di $n^2$. Così$N\mid n^2$ se e solo se $n$ è un primo.