Perché$8^{\frac{1}{3}}$è$1$,$\frac{2\pi}{3}$, e$\frac{4\pi}{3}$

Question

La domanda è:

Usa il teorema di DeMoivre per trovare$8^{\frac{1}{3}}$. Esprimi la tua risposta in forma complessa.

Selezionane uno:

un. 2

b. 2, 2 cis (2$\pi$/3), 2 cis (4$\pi$/3)

c. 2, 2 cis ($\pi$/3)

d. 2 cis ($\pi$/3), 2 cis ($\pi$/3)

e. Nessuna di queste

---

penso che$8^{\frac{1}{3}}$è$(8+i0)^{\frac{1}{3}}$

E,$r = 8$

E,$8\cos \theta = 8$e$\theta = 0$.

Così,$8^{\frac{1}{3}}\operatorname{cis} 0^\circ = 2\times (1+0)=2$

Ho appena ricevuto solo$2$. Dove e come gli altri$\frac{2\pi}{3}$, e$\frac{4\pi}{3}$vieni da?

Answer 1

Potremmo vederla così:
$$8^{\frac13}=2.1^{\frac13}=2\cdot \text{CiS}\left(\frac{2k\pi}{n}\right)$$Ora per diversi valori di$k$, abbiamo risposte diverse: (qui$n$è$3$)$$k=1\implies 8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS} \left(\frac{2\pi}{3}\right)$$ $$k=2\implies8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS}\left(\frac{4\pi}{3}\right)$$ $$k=3\implies8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS}(2\pi)=2$$

Potresti leggere su$n^{\text{th}}$radici dell'unità su Wikipedia per avere un quadro migliore

Answer 2

Permettere$z^3=8$.

Così,$$(z-2)(z^2+2z+4)=0,$$che dà$$\{2,-1+\sqrt3i,-1-\sqrt3i\}$$o$$\left\{2(\cos0+i\sin0),2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right), 2\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)\right\}$$

Answer 3

Qui,$$\begin{align*} 8^{1/3} &= (|8|e^{2\pi kj})^\frac{1}{3}, k = 0,1,2\\ &= |8|^\frac{1}{3} e^{\frac{2}{3}\pi kj}, k = 0,1,2\\ &= 2 e^{\frac{2}{3}\pi kj}, k = 0,1,2\\ \end{align*}$$

quindi per$k=1$,$k=2$noi abbiamo$\frac{2\pi}{3}$e$\frac{4\pi}{3}$

Oppure prendi:$$8^{1/3}=x$$Allora otteniamo,

$$(x-2)(x^2+2x+4)=0$$

Quindi otteniamo le nostre radici desiderate.

Answer 4

$8^{\frac{1}{3}}$=$2(1)^{\frac{1}{3}}=2,2\omega,2{\omega}^2$

qui$\omega$è la radice cubica dell'unità