Perché il fatto che possiamo forzare l'ipotesi del continuo non prova apertamente l'ipotesi del continuo?
Sto leggendo Forcing for Mathematicians di Nick Weaver e nel capitolo 12 ("Forcing CH") inizia con questo (pg 45 - 46):
(Tutto qui è relativizzato a $M$ - che nel suo libro è un modello di ZFC).
Permettere $P_1$ essere l'insieme di tutte le funzioni parziali da $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ per $\aleph_1$ (che è una nozione forzante) e let $G$ essere un ideale generico di $P_1$. Poiché gli elementi di$G$ sono funzioni che devono essere coerenti (da $G$ è un ideale) puoi prendere l'unione di loro per costruire una funzione $\tilde{f}$ da un sottoinsieme di $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ a un sottoinsieme $\aleph_1$.
Poi dimostra che:
- $\tilde{f}$ è una biiezione (non solo una funzione) da un sottoinsieme di $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ a un sottoinsieme $\aleph_1$ poiché la rattoppatura di biiezioni coerenti insieme ti dà una biiezione.
- Il dominio di $\tilde{f}$ è tutto $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ da $G$ è generico.
- La gamma di $\tilde{f}$ è tutto $\aleph_1$ da $G$ è generico.
A quanto ne so quindi, dato qualsiasi modello $M$ di ZFC (cioè qualsiasi insieme per cui ZFC è valido), c'è una biiezione da $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ per $\aleph_1$ e quindi l'ipotesi del continuo è vera.
So che continua a parlare $M[G]$ ma, per quanto ne so, qualsiasi $M[G]$ è solo un altro modello di ZFC e avrebbe potuto benissimo essere il set che abbiamo scelto $M$.
Risposte
Ma la biiezione $\widetilde f$ non è in $M$, questo è il punto. È in$M[G]$. Quello che hai mostrato è semplicemente quello per ogni modello di$\sf ZFC$, c'è un modello più grande in cui $\sf CH$ è vero.
Per vederlo davvero $\widetilde f\notin M$, nota che data qualsiasi funzione$g\colon \mathcal P(\Bbb N)\to\omega_1$, c'è una fitta serie di condizioni $p$ tale che $p\nsubseteq g$. Quindi per genericità,$\widetilde f\neq g$. Se$\widetilde f$ non è uguale a nessuna funzione in $M$, quindi non può essere in $M$.
(Questo è, più in generale, il motivo per cui ogni volta che una forzatura non è banale, non ci sono filtri generici nel modello base.)
La chiave qui è quella $G$ deve essere generico $M$e di conseguenza $G \not\in M$.
Come hai notato, se riesci a realizzare un modello di ZFC che contiene $G$ e che è d'accordo con $M$ riguardo a cosa $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ e $\aleph_1$sono, quindi in quel modello CH manterrà. La forzatura ci dice come costruire un tale modello e quindi ci mostra che dato un modello$M$possiamo fare un modello in cui CH tiene. Questo ci permette di mostrare la consistenza relativa di ZFC + CH, ma non prova CH.
Vorrei aggiungere un paio di punti alle risposte esistenti:
Innanzitutto, c'è un punto chiave che non è stato menzionato nelle risposte esistenti: è importante notare che i generici non sempre esistono . Ci è garantita l'esistenza solo quando$M$è numerabile . Quindi la dichiarazione
Ogni $M\models\mathsf{ZFC}$ è un sottomodello di alcuni $N\models\mathsf{ZFC+CH}$
non è proprio vero: dobbiamo limitarci a numerabile $M$S. Infatti, se$\mathsf{CH}$ è falso in realtà poi ce ne sono alcuni $M$ senza fine estensione soddisfacente $\mathsf{CH}$: vale a dire, qualsiasi modello contenente tutti i reali.
Un paio di commenti a margine:
"Ogni numerabile $M\models\mathsf{ZFC}$ è un sottomodello di alcuni numerabili $N\models\mathsf{ZFC+CH}$" è vero - non abbiamo bisogno che questi modelli numerabili siano ben fondati! Questo non è ovvio, ma non è difficile da mostrare ed è un buon esercizio per" eseguire internamente tutte le ricorsioni ".
Noi possiamo parlare di forzare le estensioni dei modelli arbitrarie (e in effetti$V$stesso!) tramite l' approccio alla forzatura del modello a valori booleani . Questo è l'approccio adottato in Jech, per esempio. Tuttavia, sebbene affascinante e importante, è anche a mio parere sostanzialmente meno intuitivo rispetto all'approccio poset.
In secondo luogo, per il valore pedagogico, lasciatemi fare un esempio in cui l'importanza di $G\not\in M$ è più palesemente evidente, vale a dire il crollo di Levy $Col(\omega,\omega_1)$.
$Col(\omega,\omega_1)$ è la più semplice forzatura per fare $\omega_1$ numerabile: consiste di funzioni parziali finite $\omega\rightarrow\omega_1$, ordinato per estensione inversa come previsto. Dal momento che per ciascuno$\alpha\in\omega_1$ il set $\{p: \alpha\in ran(p)\}$ è denso, generico $G$ (o meglio, l'unione delle condizioni in tale $G$) è una sorpresa di $\omega$ per $\omega_1$.
Più precisamente, e limitandoci ai modelli transitivi numerabili per semplicità, abbiamo:
Se $M$ è un modello transitivo numerabile di $\mathsf{ZFC}$ e $G$ è $Col(\omega,\omega_1^M)$-generico finito $M$ poi $M[G]\models\omega\equiv\omega_1^M$.
Ma a differenza $\mathsf{CH}$, è ovvio che non possiamo assolutamente avere un fenomeno dello "stesso modello": non c'è $M\models\mathsf{ZFC}$ tale che $M\models \omega\equiv\omega_1^M$. Quindi considerare prima questo esempio può aiutarti a capire perché la forzatura non può implicare la verità in generale.
Infine, vorrei concludere con una nota positiva. Nonostante quanto sopra, ci sono alcune volte in cui la "forzabilità" di una frase implica la sua assoluta verità:
Il teorema di assolutezza di Shoenfield afferma che la verità di$\Pi^1_2$ le frasi non possono essere modificate forzando, quindi se $G$ è generico $M$ e $M[G]\models\varphi$ con $\varphi\in\Pi^1_2$ poi $M\models\varphi$e viceversa (in realtà Shoenfield dice qualcosa di più, ma meh). Ma questo fenomeno è generalmente raro.
Per modelli speciali di $\mathsf{ZFC}$possiamo ottenere risultati di assolutezza più forti. In particolare, assiomi cardinali grandi e forti implicano una maggiore quantità di assolutezza (ad esempio, se ricordo bene, se$M\models\mathsf{ZFC}$ + "Ci sono infiniti cardinali di Woodin", quindi tutte le frasi proiettive sono assolute tra $M$ e le sue estensioni generiche).
Tuttavia, in generale l'assolutezza è piuttosto rara e certamente non dovrebbe mai essere data per scontata.