Perché il numero di$\mathbb{F}_q$punti sulla laurea$d$curve$C\subset \mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^n$diminuire come$n$aumenta?
Questa domanda riguarda alcuni risultati controintuitivi (almeno per me) riguardanti il numero di punti su una curva proiettiva su un campo finito. Vale a dire, se si fissa il grado della curva, ma si aumenta la dimensione dello spazio proiettivo ambientale, si possono ottenere limiti più stretti sul numero di$\mathbb{F}_q$punti sulla curva, nonostante ci sia un numero maggiore di$\mathbb{F}_q$punti nello spazio ambiente. Permettetemi di precisarlo con due esempi.
Permettere$C\subset \mathbb{P}^n_{\mathbb{F}_q}$essere una curva proiettiva di grado$d$. Supponiamo$C$è non degenerato nel senso che non è contenuto in uno spazio proiettivo più piccolo$\mathbb{P}^k_{\mathbb{F}_q}$,$k<n$.
Il lavoro di Homma (che estende il lavoro di Homma e Kim) ha mostrato$$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-1)q+1, $$con una sola eccezione (fino all'isomorfismo) finita$\mathbb{F}_4$. Questo è il cosiddetto Sziklai legato, ed è stretto per$n=2$.
Questo limite non è stretto per$n>2$; recentemente Beelen e Montanucci dimostrano che se$C\subset \mathbb{P}^3_{\mathbb{F}_q}$è quindi non degenerato in realtà$$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-2)q+1. $$Congetturano ulteriormente che se$C\subset \mathbb{P}^n_{\mathbb{F}_q}$, il limite generale dovrebbe essere$$ \#C(\mathbb{F}_q)\leq (d-n+1)q+1. $$
Questo ricorda un fenomeno del lavoro di Bucur e Kedleya. Ad esempio: una curva uniforme casuale in$\mathbb{P}^2_{\mathbb{F}_q}$si prevede di avere$$q+1$$punta sopra$\mathbb{F}_q$man mano che il suo grado cresce all'infinito. Un'intersezione completa casuale di due gradi lisci$d$superfici dentro$\mathbb{P}^3_{\mathbb{F}_q}$si prevede di avere$$ q+1 - \frac{q^{-2}(1+q^{-1})}{1+q^{-2}-q^{-5}} < q+1 $$punta sopra$\mathbb{F}_q$, di nuovo come$d\to\infty$.
Questi risultati sono controintuitivi per me, poiché il numero di punti nello spazio proiettivo ambientale cresce (esponenzialmente) come$n$fa, quindi in particolare mi sembra che dovrebbe essere più facile avere le curve$\mathbb{F}_q$punti quando sono incorporati in spazi proiettivi più ampi. Qualcuno ha qualche intuizione sul perché dovrebbe essere vero il contrario?
Riferimenti:
Beelen e Montanucci: Un limite per il numero di punti delle curve dello spazio su campi finiti
Bucur e Kedleya: la probabilità che un'intersezione completa sia regolare
Homma: un limite sul numero di punti di una curva nello spazio proiettivo su un campo finito
Risposte
Un modo per ottenere un'intuizione viene dall'osservazione del limite combinatorio (più debole). Supponiamo di avere una curva non degenerata$C$in uno spazio proiettivo$\mathbb P^n$. Supponiamo che quello$L$è un sottospazio di codimensione$2$in$\mathbb P$e quello$|C\cap L|=m$. Maggiore è la dimensione$n$ottiene, il valore più alto che possiamo scegliere$m$. In effetti possiamo sempre trovare almeno$n-1$punta dentro$C$che si estendono a$\mathbb P^{n-2}$.
Bezout te lo dice per qualsiasi iperpiano$H$quello contiene$L$, il numero di punti di$C$che giacciono dentro$H$e non mentire$L$è al massimo$d-m$. Poiché il numero di tali iperpiani è$q+1$, indipendente dalla dimensione, otteniamo$|C|-m\le (q+1)(d-m)$o equivalentemente dal riarrangiamento dei termini$$|C|\le (d-m)q+d.$$Per$m=n-1$questo dà il limite$|C|\le (d-n+1)q+d$per tutte le curve non degeneri$C$. Ovviamente questo è più debole della congettura e dei teoremi che menzioni nel post, ma (1) vale per tutte le curve inclusa quella che viola il limite di Sziklai (2) mostra già il fenomeno "il limite diventa più stretto man mano che$n$salire".