Perché ogni $|X\rangle\in H_1\otimes H_0$ essere scritto come $|X\rangle=(X\otimes I_{H_0})|\Omega \rangle$ per alcuni $X\in\mathcal L(H_0,H_1)$?
In Un quadro teorico per reti quantistiche è dimostrato che una mappa lineare$\mathcal{M} \in \mathcal{L}(\mathcal{H_0},\mathcal{H_1})$ è CP (completamente positivo) se e solo il suo operatore Choi $M$è semi definito positivo. Qualcosa mi confonde in questa derivazione.
In primo luogo, alcuni promemoria di definizione.
Permettere $X \in \mathcal{L}(H_0,H_1)$, permettere $\{|i \rangle \}_i$ essere una base ortonormale di $H_0$, noi abbiamo:
$$ | \mathcal{I} \rangle \rangle \equiv \sum_i |ii \rangle$$ $$|X \rangle \rangle \equiv (X \otimes \mathcal{I}) | \mathcal{I} \rangle \rangle$$
L'operatore Choi è definito come:
$$ M = \mathcal{M} \otimes \mathcal{I}_{H_0} | \mathcal{I} \rangle \rangle \langle \langle \mathcal{I} |$$
Nella sua prova, presume $M \geq 0$ l'obiettivo è dimostrare che ciò implica $\mathcal{M}$ è CP.
$M$è semi-definito positivo, il che implica che è ermitiano con autovalori positivi. Può quindi essere diagonalizzato. Con$\lambda_i \geq 0$, noi abbiamo:
$$ M = \sum_i \lambda_i |u_i \rangle \langle u_i |=\sum_i | K_i \rangle \langle K_i |$$
Con $|K_i \rangle = \sqrt{\lambda_i} |u_i \rangle$
Ma sembra che lo consideri "automaticamente" $|K_i \rangle = |K_i \rangle \rangle$. Non lo capisco. Perché dovremmo averne bisogno$|K_i \rangle = (K_i \otimes \mathcal{I}) | \mathcal{I} \rangle \rangle$. È un caso molto particolare. Perché lo stato può essere scritto come un'operazione locale che agisce su uno stato massimamente entangled?
Ho una memoria super vaga in cui è possibile scrivere qualsiasi stato quantistico $(K \otimes \mathbb{I}) | \mathcal{I} \rangle \rangle$. Detto diversamente, esiste sempre un'operazione lineare$K$ (non necessariamente unitario ovviamente) in modo tale che qualsiasi vettore in $H_1 \otimes H_0$ può essere scritto come $K \otimes \mathcal{I} | \mathcal{I} \rangle \rangle$Immagino che risolverebbe il problema. Ma non riesco a trovare la fonte di ciò e potrei sbagliarmi completamente.
Alla fine, perché possiamo scrivere: $|K_i \rangle = |K_i \rangle \rangle$. Vorrei una prova di ciò (e se la proprietà di cui ho appena parlato è valida, vorrei un collegamento a un riferimento che lo esprima o una prova anche di questo nella risposta)
Risposte
Permettere $K$ essere un vettore $$ |K\rangle=\sum_{ij}K_{ij}|i,j\rangle. $$ Potremmo riscrivere questo ias $$ |K\rangle=\left(\left(\sum_{ij}K_{ij}|i\rangle\langle j|\right)|j\rangle\right)\otimes|j\rangle, $$ e questo è esattamente lo stesso di $$ |K\rangle=K\otimes 1\sum_j|j,j\rangle=|K\rangle\rangle $$ se definiamo la matrice $K$ essere $K=\sum_{ij}K_{ij}|i\rangle\langle j|$.
Hai già definito la matrice Choi come $M = \rho_{\mathrm{Choi}} = \left(\mathcal{M}\otimes I\right)(|\mathcal{I}\rangle\rangle\langle\langle\mathcal{I}||)$. Scriverò lo stato di entanglement massimo come$|\mathcal{\Omega}\rangle$ perché mi è più leggibile e ci sono più abituato.
L'hai già fatto notare $M$ essere positivo-semidefinito significa che possiamo eseguire una decomposizione spettrale a valori reali:
$$ M = \sum_{i}\lambda_{i}|u_{i}\rangle\langle u_{i}| = \sum_{i}\sqrt{\lambda_{i}}|u_{i}\rangle\langle u_{i}| \sqrt{\lambda_{i}}. $$ Possiamo scomporli $\sqrt{\lambda_{i}}|u_{i}\rangle$è un prodotto tensoriale di una base per entrambe le copie degli spazi di Hilbert: $$ \sqrt{\lambda_{i}}|u_{i}\rangle = \sum_{l}|a^{i}_{l}\rangle \otimes |b^{i}_{l}\rangle, $$
il che significa che possiamo scrivere: \ begin {equation} \ begin {split} M = & \ sum_ {i} \ lambda_ {i} | u_ {i} \ rangle \ langle u_ {i} | = \ sum_ {i} \ sum_ {l} \ sum_ {m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes \ langle b ^ {i} _ {m} | \\ = & \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {i} _ {m} |. \ end {split} \ end {equation}
Come forse saprai, possiamo scrivere l '"output" della mappa $\mathcal{M}$ su "input" $\rho_{\mathrm{in}}$, che è così $\rho_{\mathrm{out}} = \mathcal{M}\left(\rho_{\mathrm{in}}\right)$, in termini di matrice Choi $M$:
$$ \mathcal{M}\left(\rho_{\mathrm{in}}\right) = d \mathrm{tr}_{2}\big[M\left(I \otimes \rho_{\mathrm{in}}^{T}\right)\big], $$ dove la traccia è la traccia parziale sul secondo sottosistema e il file $T$ apice indica la trasposizione.
Ora, inseriamo la nostra scomposizione sopra per $M$: \ begin {equation} \ begin {split} \ mathcal {M} \ left (\ rho _ {\ mathrm {in}} \ right) & = d \ mathrm {tr} _ {2} \ big [M \ left ( I \ otimes \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} \ right) \ big] \\ & = d \ mathrm {tr} _ {2} \ big [\ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {i} _ {m} | \ left (I \ otimes \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} \ right) \ big] \\ & = d \ sum_ {i, l, m} \ mathrm {tr} _ {2} \ big [| a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {i} _ {m} | \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} \ big] \\ & = d \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ langle b ^ {i} _ {m} | \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} | b ^ {i} _ {l} \ rangle \\ & = d \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ langle b ^ {* i} _ {l} | \ rho _ {\ mathrm {in}} | b ^ {* i} _ {m} \ rangle \\ & = d \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {* i} _ {l} | \ rho _ {\ mathrm {in}} | b ^ {* i} _ {m} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \\ & = \ sum_ {i} A_ {i} \ rho _ {\ mathrm {in}} A_ {i} ^ {\ dagger}, \ end {split} \ end {equation} con$A_{i} = \sum_{l}\sqrt{d} |a^{i}_{l}\rangle \langle b^{*i}_{l}|$. Questa è solo la decomposizione Kraus, che è sufficiente per$\mathcal{M}$ essere CP.
Permettere $\newcommand{\kett}[1]{\lvert #1\rangle\!\rangle}\newcommand{\ket}[1]{\lvert#1\rangle}\ket m\equiv \sum_k \ket{k,k}$ denotano lo stato (non normalizzato) di entanglement massimo.
La relazione $\kett X=(X\otimes I)\ket m$equivale a qualche semplice giocoleria indice. Con questo intendo che stai considerando lo stesso oggetto, cioè lo stesso insieme di numeri, ma interpretandolo in modi diversi (come un operatore piuttosto che come un vettore).
Per vedere questo, lascia $X\in\mathcal L(H_0,H_1)$ sii il tuo operatore, i cui elementi di matrice (in qualche scelta di base) scriviamo come $X_{ij}$. Nota che puoi capire$X_{ij}$ come operatore ("inviando il file index $j$ all'indice $i$") o come vettore in$H_0\otimes H_1$. Più formalmente, se scriviamo con$\kett X$ l '"interpretazione vettoriale" di $X$, noi abbiamo $$\langle i,j\kett X = X_{ij} =\langle i|X|j\rangle = \langle i,j|(X\otimes I)\ket m,$$ dove abbiamo usato $\langle i,j|X\otimes I|k,\ell\rangle = X_{ik}\delta_{j\ell},$ e quindi $\kett X=(X\otimes I)\ket m.$ Anche questo è spesso scritto come $\kett X=\operatorname{vec}(X)$, con $\operatorname{vec}:\mathrm{Lin}(\mathcal X,\mathcal Y)\to\mathcal Y\otimes\mathcal X$ l'operazione di "vettorizzazione".