Perché questo non mostra che l'aritmetica di Peano del primo ordine è coerente?
ALCUNI PRELIMINARI: La logica del predicato è coerente e completa. In altre parole, (i) per una formula chiusa$F$ nel calcolo dei predicati con uguaglianza e funzioni, $\vdash F$ se e solo se $\,\vDash F$ (dove $\vDash F$ si intende $F$ è vero nell'interpretazione standard delle costanti logiche per qualsiasi assegnazione di predicati e funzioni che si verificano in $F$). Inoltre, (ii) se$\,\vdash F$ nell'aritmetica del primo ordine, poi per qualche sequenza finita di formule $\Gamma$ (dove $\Gamma$ sono assiomi chiusi dell'aritmetica di Peano), $\Gamma \vdash F$ nel calcolo dei predicati con uguaglianza e funzioni.
Ora ecco il mio argomento, dove ho commesso un errore. Supponiamo$\vdash F$in aritmetica del primo ordine. Quindi per (ii),$\Gamma \vdash F$nella logica dei predicati. Così$\vdash \Gamma' \rightarrow F$ (dove la formula $\Gamma'$ è la congiunzione delle formule in $\Gamma$). Da (i),$\vDash \Gamma' \rightarrow F$. Quindi, nel modello standard di aritmetica (e tutti gli altri modelli),$\Gamma' \rightarrow F$è una dichiarazione vera sotto l'interpretazione. E nella teoria dei numeri intuitiva, la proposizione$\Gamma'$è vero nel modello standard. Così intuitivamente,$F$deve essere vero. Pertanto, se$F$è dimostrabile in aritmetica prima o poi è vero intuitivamente. Quindi, se l'aritmetica del primo ordine fosse incoerente, le proporzioni$0=0$ e $0\neq0$sarebbe dimostrabile e quindi entrambi veri nel modello standard, il che è assurdo. Pertanto il sistema formale deve essere coerente.
È anche questo un argomento valido? È un argomento forte o è più un argomento euristico perché fa appello a metodi non finitari? È circolare perché si basa sulla coerenza della teoria dei numeri intuitiva? Inoltre, se questo argomento non è valido, perché formalizziamo la teoria dei numeri se non possiamo sapere che i teoremi sono necessariamente veri?
Risposte
Il fatto che $\mathbb{N}$ è un modello di aritmetica di Peano del primo ordine (di seguito semplicemente aritmetica di Peano) è sufficiente per mostrare la consistenza dell'aritmetica di Peano.
Tuttavia, il fatto che possiamo parlare del set $\mathbb{N}$e il modo in cui "modella" l'aritmetica presume che stiamo lavorando in una teoria degli insiemi (come ZF) come nostra meta-teoria (o almeno in una meta-teoria più forte dell'aritmetica di Peano). Quindi, stiamo dimostrando la coerenza dell'aritmetica di Peano in una teoria ancora più forte dell'aritmetica di Peano (che a sua volta potrebbe essere incoerente).
Non possiamo dimostrare la coerenza dell'aritmetica di Peano all'interno dell'aritmetica di Peano stessa (a meno che l'aritmetica di Peano non sia effettivamente incoerente, nel qual caso abbiamo problemi molto più grandi). Ciò segue dal teorema di incompletezza di Gödel.
Quindi, in sostanza, il fatto che l'aritmetica di Peano sia coerente può essere dato per scontato filosoficamente tanto quanto può esserlo qualsiasi affermazione dimostrata in ZF.