Perché ${\rm Ult}(V,{\cal U})\vDash|[id]_{\cal U}|<j_{\cal U}(\kappa)$, quando $\cal U$ è un $\delta$-Completare l'ultrafiltro fine $\cal P_\kappa(\alpha)$?
Il seguente argomento appare nella dimostrazione del Teorema 4.7. nel giornale di Bagaria-Magidor Gruppo radicali e cardinali fortemente compatti .
Permettere $\delta<\kappa$ essere innumerevoli cardinali che possono essere singolari e let $\alpha$ essere un ordinale tale che $\alpha\geq\kappa$. Supponiamo che esista un file$\delta$-misura fine completa $\mathcal{U}$ sopra $\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha)$, cioè un $\delta$-ultrafiltro completo $\mathcal{U}$ sopra $\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha)=\{x\subseteq\alpha:|x|<\kappa\}$ tale che $\{x\in\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha):a\in x\}\in\mathcal{U}$ per ogni $a\in\alpha$. Permettere$j_{\mathcal{U}}:V\longrightarrow Ult(V,\mathcal{U})$essere l'incorporamento ultrapower corrispondente. Da$\mathcal{U}$ è $\delta$-completo, allora $Ult(V,\mathcal{U})$è ben fondato. Inoltre, anche da$\delta$-completezza, il punto critico di $j_{\mathcal{U}}$ è più grande di O uguale a $\delta$. Ora la mia domanda:
Perché $Ult(V,\mathcal{U})\vDash|[id]_{\mathcal{U}}|<j_{\mathcal{U}}(\kappa)$?
Grazie in anticipo.
(Avrei aggiunto il tag ultrapowers se esistesse, ma non è così e non ho la reputazione di crearlo).
Risposte
Ricordati che $j_{\mathcal U}(\kappa)$ è (l'immagine sotto il collasso transitivo di) la classe di equivalenza nell'ultrapotenza della funzione costante $c$ con valore $\kappa$. Quindi, per il teorema di Los, ciò che deve essere dimostrato è questo$|id_{\mathcal U}(a)|<c(a)$ per $\mathcal U$-quasi tutto $a\in\mathcal P_\kappa(\alpha)$. Questo è,$|a|<\kappa$ per quasi tutti $a$. Ma questa disuguaglianza è in effetti vera per tutti$a\in\mathcal P_\kappa(\alpha)$, per definizione di $\mathcal P_\kappa(\alpha)$.