Perché si definisce l'anello polinomiale $R[x] := R^{(\mathbb N)}$e non come sottoinsieme di funzioni? [duplicare]
In algebra lineare, definiamo l'anello polinomiale come un insieme di serie e quindi definiamo un'addizione e una moltiplicazione che rende l'insieme un anello. Con alcuni omomorfismi si raggiunge una struttura che corrisponde all'immaginazione intuitiva di un insieme di polinomi.
Ma perché non si definisce $R[x]$ come sottoinsieme di funzioni con proprietà specifiche (ad es. define $1$ essere un polinomio e ricorsivamente, quando $f, g$ sono polinomi, $\alpha f$ ($\alpha \in R$) e $f + g$, $f \cdot g$sono polinomi). Perché si costruisce una nuova struttura in cui si interpreta una serie come polinomio e si deve definire esplicitamente addizione e moltiplicazione su serie? Dov'è il senso di farlo e non usare il concetto di funzione?
Risposte
Questo perché diversi polinomi possono portare alla stessa funzione.
Ad esempio, prendi un anello finito. Chiaramente su un anello finito, ci sono finitamente molte funzioni di una variabile (più esattamente, se l'anello ha$n$ elementi, poi ci sono esattamente $n^n$diverse funzioni). Ma ci sono infiniti polinomi diversi (per ogni$n\in\mathbb N$, $x^n$ è un polinomio diverso da qualsiasi altro $x^m, m\ne n$).
Inoltre, lo stesso polinomio può portare a diverse funzioni polinomiali. Ad esempio, prendi i polinomi sui numeri reali. Quindi per qualsiasi vera algebra$A$, i polinomi portano a funzioni $f:A\to A$ ottenuto sostituendo la variabile con un'istanza di $A$. Chiaramente questo è qualcosa che non puoi ottenere facilmente solo con le funzioni$f:\mathbb R\to\mathbb R$.
Uno dei motivi per cui questo è importante è che vorremmo essere in grado di distinguere tra polinomio che hanno coefficienti diversi ma corrispondono alla stessa funzione. Ciò emerge nel contesto dei campi finiti: ad esempio, è utile distinguere tra i polinomi$p(x) = x$ e $q(x) = x^3$, anche se questi due polinomi rappresentano la stessa funzione $\Bbb F_2$.
Al di fuori della motivazione di studiare i polinomi in sé e per sé, è importante che i polinomi siano "agnostici del dominio". Anche se stiamo pensando a polinomi con coefficienti da un anello$R$, non è necessariamente il caso in cui la funzione di interesse associata prende elementi di $R$come suoi input. In particolare, è spesso utile che lo stesso polinomio descriva non solo una funzione over$R$, ma anche una funzione su un'estensione ad anello $\bar R$o anche una funzione su un file $R$-Algebra $A$.
Come esempio dall'algebra lineare: data una matrice $M \in \Bbb F^{n \times n}$ e un polinomio $p \in \Bbb F[x]$, è molto utile poter parlare dell'applicazione $p(M)$. Tuttavia, questo non ha senso se definiamo un polinomio come una funzione con dominio$\Bbb F$.
Per questo post, vivremo nel regno degli anelli commutativi con unità.
Supponi di avere un anello $R$. Ingenuamente, un polinomio con coefficienti in$R$è qualcosa che richiede qualcosa (solitamente chiamato$x$) come input e ti dà qualcosa in cambio. Di solito, questo qualcosa è un elemento di$R$ e ottieni un elemento di $R$ in cambio, ma risulta che è conveniente lasciarlo senza dirlo, in modo che un polinomio possa prendere elementi di un insieme e trasformarlo in un elemento di questo stesso insieme.
Tuttavia, poiché le espressioni polinomiali includono somme e prodotti, il "dominio" del polinomio non può essere un insieme: dovrebbe essere un anello. Inoltre, i coefficienti del polinomio sono elementi di$R$, quindi il "dominio" non può essere un anello: deve anche essere un anello in cui ha senso moltiplicarsi per elementi di $R$. Tecnicamente, se hai un anello$S$, l'idea di moltiplicazione per elementi di $R$ è codificato sotto forma di un omomorfismo ad anello $\phi:R\to S$. Quindi per qualsiasi$r\in R$ e $s\in S$ possiamo definire il prodotto $rs$ come $rs=\phi(r)s$. Una tale coppia$(S,\phi)$ è chiamato un $R$-algebra.
Infine, vogliamo essere in grado di eseguire operazioni sui polinomi ancor prima di valutarli, compresa la moltiplicazione per elementi di$R$. Ciò significa che il nostro insieme di polinomi deve essere un anello e un$R$-algebra pure. Inoltre, per qualsiasi elemento$s\in S$ ed eventuali polinomi $p,q$, vogliamo $(p+q)(s)=p(s)+q(s)$ e $(pq)(s)=p(s)q(s)$: cioè, vogliamo la valutazione $p\mapsto p(s)$ essere un omomorfismo ad anello che rispetti il $R$-moltiplicazione. Da qui la seguente idea di definizione:
Dato un anello $R$, vogliamo avere e $R$-algebra chiamata anello polinomiale $R[x]$ che soddisfa la seguente proprietà: for any $R$-algebra $S$ (questo è, un anello in cui "moltiplicazione per elementi di $R$ ha senso ") e qualsiasi elemento $s\in S$, abbiamo una mappa di valutazione $\operatorname{ev}_s:R[x]\to S$ che è un omomorfismo di anello che rispetta il $R$-moltiplicazione, tale che il polinomio $x\in R[x]$ viene mappato a $s\in S$. Inoltre, la valutazione dell'omomorfismo dovrebbe essere unica.
Si scopre che la solita definizione di $R[x]$poiché alcune somme e prodotti formali soddisfano questa definizione; ancora di più: questo$R[x]$ è l'unico (in un senso appropriato) $R$-algebra che soddisfi la definizione.
Per le persone dalla mentalità più astratta, questo post significa che per chiunque $R$-algebra $S$ c'è una corrispondenza uno-uno
$$\left\{\text{elements of $S$}\right\} \leftrightarrow \left\{ \overset{ \displaystyle\text{ring homomorphisms} } { \underset{\textstyle\text{respecting $R$-multiplication}} {R[x]\to S} } \right\}$$
E per voi categoristi, il risultato è che l'anello polinomiale $R$ è il libero commutativo $R$-algebra sull'insieme di un elemento.